Question

Найдите общее решение дифферинциального уравнения (y+1)dy=(x-3)dx

Answer 1

Ответ: $y(y+2)=x(x-6)+2C$

Пошаговое объяснение:

$(y+1)dy=(x-3)dx\\\\\int {(y+1)dy} = \int {(x-3)dx}\\\\\frac{y^2}{2}+y =\frac{x^2}{2}-3x+C \\\\y^2+2y=x^2-6x+2C\\\\y(y+2)=x(x-6)+2C$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно применить метод разделения переменных.

Уравнение имеет вид: (y+1)dy = (x-3)dx.

Для начала, разделим оба члена уравнения на соответствующие переменные: (y+1)dy = (x-3)dx dy/(y+1) = dx/(x-3).

Затем проинтегрируем оба члена уравнения: ∫dy/(y+1) = ∫dx/(x-3).

Левая часть уравнения может быть проинтегрирована с использованием замены переменной. Пусть u = y + 1, тогда du = dy.

∫dy/(y+1) = ∫du/u = ln|u| + C1 = ln|y + 1| + C1.

Правая часть уравнения также может быть проинтегрирована: ∫dx/(x-3) = ln|x-3| + C2.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид: ln|y + 1| + C1 = ln|x-3| + C2.

Можно объединить константы интегрирования C1 и C2 в одну константу C: ln|y + 1| = ln|x-3| + C.

Поскольку ln|a| = ln|b| эквивалентно a = b или a = -b, то: y + 1 = x - 3 + Ce^x, или y = x - 4 + Ce^x.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y + 1 = (x - 3)dx равно y = x - 4 + Ce^x, где C - произвольная постоянная.