Question

Осьминог Пауль (Paul) предсказывает результаты футбольных матчей на международном турнире. Для этого ему в аквариум опускают флажки двух стран соперниц. Какого флажка первым коснется осьминог, футболисты этой страны должны победить. Соответственно футболисты другой страны проиграют. С какой вероятностью из (N+2) предсказаний N будет верными?

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle\frac{(N+1)*(N+2)}{2^{N+3} }$

Пошаговое объяснение:

    При каждой попытке получить предсказание может произойти одно из двух событий: или Пауль угадает флажок победителя, или нет. Т.е.  каждый раз 2 варианта развития события, поскольку флажков на выбор всего 2

   Так как предпринимается (N + 2) попытки, то общее число вариантов событий рассчитывается по формуле:

  $\displaystyle A=2^{N+2}$

 Но благоприятных событий - правильных предсказаний - по условию всего N, причем, порядок появления правильного предсказания не важен. Число вариантов, в которых происходит благоприятное событие, можно рассчитать по формуле:

$\displaystyle C_{N+2} ^{N} = \frac{(N+2)!}{N!*(N+2-N)!} =\frac{(N+1)*(N+2)*N!}{N!*2!}=\frac{(N+1)*(N+2)}{2}$

    И тогда вероятность будет равна отношению :

$\displaystyle P=\frac{C}{A} = \frac{(N+1)*(N+2)}{2*2^{N+2} } =\frac{(N+1)*(N+2)}{2^{N+3} }$

Ответ: (N+1)*(N+2)/2^(N+3)

Answer 2

Для каждого предсказания, осьминог Пауль имеет две возможности: выбрать флажок первой страны или флажок второй страны. Таким образом, для N предсказаний у нас будет 2^N возможных комбинаций предсказаний, где каждое предсказание может быть либо верным, либо неверным.

Чтобы узнать вероятность того, что ровно N предсказаний окажутся верными, нужно знать общее количество комбинаций, в которых N предсказаний верны.

Количество комбинаций, в которых N предсказаний верны, можно выразить с помощью биномиального коэффициента C(N+2, N), что означает количество способов выбрать N предсказаний из N+2 возможных.

Таким образом, вероятность того, что ровно N предсказаний окажутся верными, будет равна:

P(N) = C(N+2, N) / 2^N

Например, если у нас есть 4 предсказания (N=4), то вероятность того, что все 4 предсказания будут верными, будет:

P(4) = C(4+2, 4) / 2^4

Вычислим значение:

P(4) = C(6, 4) / 16 = 15 / 16 ≈ 0.9375

Таким образом, вероятность того, что из (N+2) предсказаний N окажутся верными, будет P(N) = C(N+2, N) / 2^N.