Question

X^2 *y''+xy' =1 Помогите мне пожалуйста решить дефференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

Допускающее понижение порядка вида y``=f(x,y`)

Приводится к дифуру первого порядка при помощи подстановки y`=P(x) следов. y``=P`(x)

Получаем P`+(1/x)p=(1/x^2) - линейный дифур 1го порядка, решается подстановкой P=u*v (метод Бернулли) .

Найдя Р, делаем обратную подстановку.

Ответ: y=(1/2)*(ln x)^2+C1ln(x)+C2

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить методом вариации постоянных. Давайте выполним несколько шагов для решения этого уравнения.

Исходное уравнение: $x^2 y'' + xy' = 1$.

1. Начнем с поиска общего решения однородного уравнения: $x^2 y'' + xy' = 0.$

Подставим $y = x^m$, тогда $y' = mx^{m-1}$ и $y'' = m(m-1)x^{m-2}$, и подставим это в уравнение: $x^2(m(m-1)x^{m-2}) + x(mx^{m-1}) = 0.$

Упростим: $m(m-1)x^m + m x^m = 0,$ $m(m-1+m)x^m = 0,$ $m^2 x^m = 0.$

Это характеристическое уравнение для однородного уравнения. Его корни $m_1 = 0$ и $m_2 = 2$.

Общее решение однородного уравнения: $y_h(x) = c_1 x^0 + c_2 x^2 = c_1 + c_2 x^2.$

2. Теперь применим метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения: $x^2 y'' + xy' = 1.$

Предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = u(x) v(x)$, где: $u(x) = c_1(x) + c_2(x) x^2,$ $v(x) = x^2.$

Тогда: $y_p' = u'v + uv' = c_1'x^2 + 2c_2'x^3,$ $y_p'' = u''v + 2u'v' + uv'' = 2c_2'x^3 + 6c_2'x^2.$

Подставляем это в неоднородное уравнение: $x^2(2c_2'x^3 + 6c_2'x^2) + x(c_1'x^2 + 2c_2'x^3) = 1,$ $2c_2'x^5 + 6c_2'x^4 + c_1'x^3 + 2c_2'x^4 + 2c_2'x^4 = 1,$