Question

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х² + 8х ≤ 33. Какова вероятность того, что оно удовлетворяет неравенству │x-2│ ≤ 3? 2. Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность радиуса 6,5. Один из катетов равен 5. Из вершины прямого угла провели высоту СН и медиану СМ. В треугольнике случайно отмечают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в треугольнике АСМ?

Answer 1

Ответ:

1)0,25 (25%) 2)0.5 (50%)

Пошаговое объяснение: Решения на фото

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.

Вопрос 1: Вероятность удовлетворения неравенству при случайном выборе решения

У нас есть неравенство: $x^2 + 8x \leq 33$.

Чтобы решить это неравенство, нужно найти корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 33 = 0$. Решение этого уравнения даст нам точки, в которых график квадратного трехчлена пересекает горизонтальную ось. Рассмотрим неравенство с точки зрения графика:

1. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 33 = 0$:

   Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 8$, и $c = -33$.

   $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 256$.

   Корни можно найти по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

   $x = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} = -4 \pm 8$.

   Корни: $x_1 = -12$ и $x_2 = 4$.

2. Рассмотрим интервалы, на которых $x^2 + 8x \leq 33$:

   Мы знаем, что функция $x^2 + 8x$ является параболой, которая направлена вверх, и она пересекает горизонтальную ось в точках -12 и 4. Мы хотим определить интервалы значений $x$, для которых $x^2 + 8x \leq 33$.

   Разбиваем прямую на интервалы:

   • Если $x < -12$, то $x^2 + 8x$ отрицательно, и неравенство не выполняется.
   • Если $-12 \leq x \leq 4$, то $x^2 + 8x$ положительно или нулевое, и неравенство выполняется.
   • Если $x > 4$, то $x^2 + 8x$ положительно, и неравенство не выполняется.

   Таким образом, неравенство выполняется на интервале $[-12, 4]$.

3. Теперь нам нужно рассмотреть неравенство $|x - 2| \leq 3$:

   Это неравенство означает, что расстояние между $x$ и 2 не превышает 3. Графически это означает, что точки $x$ находятся на отрезке $[2 - 3, 2 + 3] = [-1, 5]$.

4. Наконец, чтобы определить вероятность удовлетворения обоим неравенствам, нам нужно найти пересечение интервалов из пунктов 2 и 3:

   Интервал, который соответствует одновременному выполнению обоих неравенств, это пересечение $[-12, 4]$ и $[-1, 5]$, то есть $[-1, 4]$.

Вероятность выбора точки в этом интервале равна длине этого интервала (по сравнению с общей длиной интервала $[-12, 4]$):

$\text{Вероятность} = \frac{\text{Длина интервала [-1, 4]}}{\text{Длина интервала [-12, 4]}} = \frac{4 - (-1)}{4 - (-12)} = \frac{5}{16}$.

Вопрос 2: Вероятность попадания случайной точки в треугольник

У нас есть прямоугольный треугольник АВС, в который вписана окружность радиуса 6.5. Один из катетов треугольника равен 5.

Для вычисления вероятности того, что случайно выбранная точка окажется в треугольнике АСМ, нужно рассмотреть отношение площадей треугольника АСМ и треугольника АВС.

1. Найдем площадь треугольника АВС:

   Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как $S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Катет}_1 \cdot \text{Катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}$.

2. Площадь треугольника АСМ:

   Для вычисления этой площади, нам нужно знать длину медианы СМ. В общем случае, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, длина медианы СМ будет равна $\frac{5}{2}$. Площадь треугольника АСМ можно вычислить как (S_{\text{ASM}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Медиана} \cdot \text{Боковая сторона} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2