Question

-(x-3y)dx=(2x-6y+2)dy помогите решить пожалуйста

Answer 1

Ответ:

-dx²+dxy+4y=0

Пошаговое объяснение:

-(x-3y)dx=(2x-6y+2)dy

-dx²+3dxy=2dxy-6dy²+2dy

-dx²+3dxy-2dxy+6dy²-2dy=0

-dx²+dxy+4y=0

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Исходное уравнение: $-(x - 3y)dx = (2x - 6y + 2)dy.$

Давайте начнем с выражения коэффициентов при $dx$ и $dy$: $-(x - 3y)dx = (2x - 6y + 2)dy.$

Разделим обе стороны на $-(x - 3y)$: $dx = \frac{2x - 6y + 2}{x - 3y}dy.$

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

$\int dx = \int \frac{2x - 6y + 2}{x - 3y}dy.$

Левая сторона интегрируется просто как $x + C_1$, где $C_1$ — постоянная интеграции.

Для интегрирования правой стороны, давайте выполним деление в числителе дроби:

$\int \frac{2x - 6y + 2}{x - 3y}dy = \int \frac{2x}{x - 3y}dy - \int \frac{6y}{x - 3y}dy + \int \frac{2}{x - 3y}dy.$

Сделаем замену переменной в каждом из трех интегралов. Первый интеграл можно рассмотреть как интеграл от функции, зависящей только от $y$, поэтому мы заменим $x - 3y$ на $u$:

$\int \frac{2x}{x - 3y}dy = \int \frac{2u}{u} \left(-\frac{1}{3}\right)du = -\frac{2}{3} \int du = -\frac{2u}{3} = -\frac{2(x - 3y)}{3}.$

Аналогично для второго интеграла: $\int \frac{6y}{x - 3y}dy = \int \frac{6y}{-u} \left(-\frac{1}{3}\right)du = 2u.$

И для третьего интеграла: $\int \frac{2}{x - 3y}dy = -\frac{2}{3} \ln |x - 3y|.$

Теперь объединим все интегралы и учтем постоянную интеграции:

$x + C_1 = -\frac{2(x - 3y)}{3} + 2(x - 3y) - \frac{2}{3} \ln |x - 3y| + C_2.$

Где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные. Можно объединить константы в одну, обозначим её как $C$:

$x = -\frac{2(x - 3y)}{3} + 2(x - 3y) - \frac{2}{3} \ln |x - 3y| + C.$

Таким образом, это уравнение является общим решением данного дифференциального уравнения.