Question

Решить уравнение 2 косинус в квадрате Х минус синус четырёх Х равно 1

Answer 1

$4x - 4x ^{2} 1$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: $2\cos^2(x) - \sin(4x) = 1$

Для начала, давайте попробуем упростить уравнение, используя тригонометрические тождества:

$\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$

Теперь подставим это обратно в уравнение:

$2\cos^2(x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 1$

Теперь мы можем факторизовать общий множитель 2:

$2(\cos^2(x) - \sin(2x)\cos(2x)) = 1$

Далее, воспользуемся тождеством $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$:

$2(\cos^2(x) - \sin(2x)(2\cos^2(x) - 1)) = 1$

Раскроем скобки:

$2(\cos^2(x) - 2\sin(2x)\cos^2(x) + \sin(2x)) = 1$

Теперь объединим члены с $\cos^2(x)$:

$2(\cos^2(x)(1 - 2\sin(2x)) + \sin(2x)) = 1$

Мы видим, что у нас есть умножение $\cos^2(x)$ на выражение $(1 - 2\sin(2x))$, поэтому одно из решений состоит в том, чтобы $\cos^2(x)$ было равно нулю:

$\cos^2(x) = 0$

Это означает, что $\cos(x) = 0$, и решениями будут значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Теперь давайте вернемся к оставшейся части уравнения:

$2\sin(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 1$

Факторизуем $2\sin(2x)$:

$2\sin(2x)(1 - \cos(2x)) = 1$

Мы знаем, что $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$, поэтому:

$2\sin(2x)(1 - (2\cos^2(x) - 1)) = 1$

Упростим выражение:

$2\sin(2x)(2 - 2\cos^2(x)) = 1$

Теперь мы можем использовать тот факт, что $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, чтобы заменить $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$:

$2\sin(2x)(2 - 2(1 - \sin^2(x))) = 1$

$2\sin(2x)(2 - 2 + 2\sin^2(x)) = 1$

$4\sin(2x)\sin^2(x) = 1$

Давайте рассмотрим уравнение $\sin(2x)\sin^2(x) = \frac{1}{4}$.

После анализа этого уравнения, можно заметить, что одним из его решений будет $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ и $\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Из $\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ мы получаем два решения: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$