Question

Найти объем конуса, если радиус его основания равен 6 см, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 см. Помогите пожалуйста и можно решение на листочке

Answer 1

Ответ:

V=S•h/3

S=πR²=π6²=36π см²

Высоту h=ВН нужно найти.  

Рассмотрим рисунок осевого сечения конуса  с вписанной в него  сферой.  Это равнобедренный треугольник АВС с вписанной в него окружностью.  

АН=6 - радиус основания конуса, О- центр окружности.  

ОН=3 - радиус сферы.

BH=AH•tgBAH=6tgBAH

Центр О вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ⇒

ВН и АМ - биссектрисы.  

Примем угол ОАН=ОАВ=α, тогда угол ВАН=2α  

tgα=3/6=0,5

tg2α=2tgα:(1-tg²α)

tg2α=2•0,5:(1-0,5²)=1/0,75⇒

BH=6•(1/0,75)=8 см

V=36π•8:3=96π см³

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конус можно разделить на две части: верхнюю часть, образующую сам конус, и нижнюю часть, образующую усеченный конус. Мы можем вычислить объем каждой из этих частей по отдельности и затем вычесть объем усеченного конуса из объема полного конуса.

Давайте обозначим:

• Радиус основания большего конуса: $R = 6$ см
• Радиус вписанной сферы (радиус усеченного конуса): $r = 3$ см
• Высота большего конуса: $h$
• Высота усеченного конуса (расстояние от вершины до верхней грани вписанной сферы): $h_r$

Сначала найдем высоту усеченного конуса. В этом случае, у нас есть прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной сферы, высотой усеченного конуса и половиной диаметра основания большего конуса (так как он проходит через центр вписанной сферы). Мы можем использовать теорему Пифагора:

$$\begin{align*} \text{Гипотенуза}^2 &= \text{Катет}^2 + \text{Катет}^2 \\ (r + h_r)^2 &= r^2 + (2R)^2 \\ h_r &= \sqrt{(r + h_r)^2 - r^2 - (2R)^2} \\ h_r &= \sqrt{h_r^2 + 4R^2} \end{align*}$$

Теперь мы можем выразить высоту большего конуса, используя подобие треугольников:

$$\frac{h_r}{r} = \frac{h}{R} \implies h = \frac{h_r \cdot R}{r}$$

Теперь, объем усеченного конуса можно вычислить как:

$$V_{\text{усеч. конуса}} = \frac{1}{3} \pi h_r (r^2 + R^2 + rR)$$

А объем полного конуса:

$$V_{\text{полного конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$$

Искомый объем большего конуса будет разницей объемов полного конуса и усеченного конуса:

$$V_{\text{большого конуса}} = V_{\text{полного конуса}} - V_{\text{усеч. конуса}}$$

Теперь вы можете вставить значения радиусов и вычислить объем большего конуса.