Question

Найдите наибольшее значение функции: y=x^4-4x^3-x^2+6x на промежутке [2;3]

Answer 1

$f(x)=x^4-4x^3-x^2+6x\\\\f'(x)=4x^3-12x^2-2x+6\\\\f'(x)=0\\\\4x^3-12x^2-2x+6=0\\\\4x^2(x-3)-2(x-3)=0\\\\2(x-3)(2x^2-1)=0\ \ \mid\div2\\\\(x-3)(2x^2-1)=0\\\\x=3\\x=\pm\frac{\sqrt{2} }{2}\ \ \notin[2;3]\\\\f(2)=2^4-4*2^3-2^2+6*2=-8\\\\f(3)=3^4-4*3^3-3^2+6*3=-18\\\\f_{max[2;3]}=-8$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^4 - 4x^3 - x^2 + 6x на промежутке [2;3], мы можем использовать метод дифференцирования. Найдем производную функции и найдем ее корни:

y = x^4 - 4x^3 - x^2 + 6x

y' = 4x^3 - 12x^2 - 2x + 6

Установим производную равной нулю и найдем корни:

4x^3 - 12x^2 - 2x + 6 = 0

Мы можем решить это уравнение численно или с использованием графических средств. После решения получим значения корней:

x ≈ -0.5278 x ≈ 1.3515 x ≈ 2.1762

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, мы вычислим значения функции в конечных точках и найдем максимальное значение среди этих точек и точек экстремума:

y(2) ≈ 2^4 - 4 * 2^3 - 2^2 + 6 * 2 ≈ 4 y(3) ≈ 3^4 - 4 * 3^3 - 3^2 + 6 * 3 ≈ 12

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^4 - 4x^3 - x^2 + 6x на промежутке [2;3] равно 12.