Question

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение y'+((y)/(1+x))=e^-x

Answer 1

$y'+\dfrac{y}{1+x}=e^{-x}\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v =uv'\\\\u'v+uv'+\dfrac{uv}{1+x}=e^{-x}\\\\u'v+u\cdot \Big(v'+\dfrac{v}{1+x}\Big)=-e^{-x}\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}+\dfrac{v}{1+x}=0\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=-\int \dfrac{dx}{1+x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|1+x|\ \ ,\ \ v=\dfrac{1}{1+x}\\\\b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot \dfrac{1}{1+x}=e^{-x}\ \ ,\ \ \int du=\int (1+x)\cdot e^{-x}\, dx\\\\\\u=-(1+x)\, e^{-x}+\int e^{-x}\, dx\ \ ,\ \ \ u=-(1+x)\, e^{-x}-e^{-x}+C\ \ ,$

$u=-e^{-x}\cdot (1+x+1)+C\ \ ,\ \ \ \ u=-e^{-x}\cdot (2+x)+C\\\\c)\ \ \ y=\dfrac{1}{1+x}\cdot \Big(-e^{-x}\cdot (2+x)+C\Big)\\\\\\y=\dfrac{C-e^{-x}\cdot (2+x)}{1+x}$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение методом разделяющихся переменных.

Уравнение: y' + y / (1 + x) = e^(-x)

1. Преобразуем уравнение, чтобы разделить переменные:

y' + y / (1 + x) = e^(-x)

y' = e^(-x) - y / (1 + x)

2. Теперь разделим переменные, переместив y-термины на одну сторону уравнения, а x-термины на другую:

(y' + y) / (e^(-x) - y) = 1 / (1 + x)

3. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ (1 / (e^(-x) - y)) dy = ∫ (1 / (1 + x)) dx

4. Решим интегралы:

-∫ (1 / (e^(-x) - y)) dy = ∫ (1 / (1 + x)) dx

• ln|e^(-x) - y| = ln|1 + x| + C

5. Теперь уберем натуральные логарифмы, используя экспоненциальную функцию:

|e^(-x) - y| = |1 + x| * e^C

6. Вспомним, что |a| * e^C = ±e^C, где a - произвольная константа. Перепишем уравнение:

e^(-x) - y = ±e^C * (1 + x)

7. Теперь рассмотрим два случая:

   A. e^(-x) - y = e^C * (1 + x) B. e^(-x) - y = -e^C * (1 + x)

8. Решим каждый из случаев:

   A. e^(-x) - y = e^C * (1 + x) y = e^(-x) - e^C * (1 + x)

   B. e^(-x) - y = -e^C * (1 + x) y = e^(-x) + e^C * (1 + x)

Общее решение данного дифференциального уравнения будет суммой решений обоих случаев:

y = e^(-x) - e^C * (1 + x) + C1, где C1 - произвольная константа

и

y = e^(-x) + e^C * (1 + x) + C2, где C2 - произвольная константа

Это общее решение дифференциального уравнения. Если заданы начальные условия, можно использовать их для определения констант C1 и C2.