Question

Помогите пожалуйста решить неравенство 2^(x^2)<=4*2^x

Answer 1

2^(x²) <= 4•2^x

2^(x²) <= 2^(x+2)

x² <= x+2

x²-x-2 <= 0

x²-2x+x-2 <= 0

x(x-2)+x-2 <= 0

(x-2)(x+1) <= 0

+. -. +

---------[-1]--------[2]----------

x€[-1; 2]

Answer 2

Конечно, давайте решим это неравенство пошагово. Начнем с переписывания неравенства:

$2^{x^2} \leq 4 \cdot 2^x.$

Сначала упростим правую сторону:

$2^{x^2} \leq 2^{2+ x}.$

Теперь, чтобы сравнить степени с одинаковыми основаниями, мы можем применить логарифм с основанием 2 к обеим сторонам неравенства:

$x^2 \leq 2 + x.$

Перенесем все элементы на одну сторону:

$x^2 - x - 2 \leq 0.$

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0.$

Мы можем попробовать разложить это уравнение на множители:

$(x - 2)(x + 1) = 0.$

Из этого уравнения следует, что либо $x - 2 = 0$ (тогда $x = 2$), либо $x + 1 = 0$ (тогда $x = -1$).

Таким образом, у нас есть два корня: $x = -1$ и $x = 2$. Мы можем теперь использовать эти точки для анализа знаков на интервалах между ними и за пределами них.

Выберем тестовую точку внутри интервала $(- \infty, -1)$, например, $x = -2$:

$(-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0.$

Это означает, что на этом интервале неравенство $x^2 - x - 2 \leq 0$ не выполняется.

Теперь возьмем точку в интервале $(-1, 2)$, например, $x = 0$:

$0^2 - 0 - 2 = -2 < 0.$

На этом интервале неравенство выполняется.

И, наконец, возьмем точку за пределами интервала $(2, +\infty)$, например, $x = 3$:

$3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0.$

На этом интервале неравенство также не выполняется.

Итак, мы видим, что неравенство $x^2 - x - 2 \leq 0$ выполняется на интервале $[-1, 2]$, а за его пределами не выполняется. Это означает, что решением исходного неравенства $2^{x^2} \leq 4 \cdot 2^x$ является интервал $[-1, 2]$, то есть $x$ может принимать значения от -1 до 2 включительно.