Question

Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Answer 1

Доказательство:

1. через данную прямую и точку , которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку можно провести только одну прямую , которая параллельна прямой .

Answer 2

Давайте обозначим данную плоскость как P, и точку вне данной плоскости как A. Нам нужно доказать, что существует и только одна плоскость, параллельная плоскости P и проходящая через точку A.

Для начала, рассмотрим вектор нормали N к плоскости P. Этот вектор будет перпендикулярен к плоскости P и определяется уравнением плоскости. То есть, если (x, y, z) - координаты точки на плоскости P, а (x₀, y₀, z₀) - координаты точки на векторе N, то уравнение плоскости P можно записать как:

N · (r - r₀) = 0,

где N = (x₀, y₀, z₀) - вектор нормали, r = (x, y, z) - произвольная точка на плоскости P, r₀ = (x₀, y₀, z₀) - точка на векторе N.

Теперь рассмотрим вектор OA от точки A к произвольной точке на плоскости P. Вектор OA можно представить как:

OA = (x - x₁, y - y₁, z - z₁),

где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A.

Мы хотим провести плоскость, проходящую через точку A и параллельную плоскости P. Это означает, что вектор нормали этой новой плоскости должен быть равен вектору N. Таким образом, уравнение новой плоскости будет иметь вид:

N · (r - r₁) = 0,

где r₁ = (x₁, y₁, z₁) - точка на векторе OA.

Подставив вектор OA в уравнение этой новой плоскости, получим:

N · ((x - x₁, y - y₁, z - z₁)) = 0.

Так как мы хотим, чтобы новая плоскость была параллельна плоскости P, то вектор нормали N должен оставаться неизменным. Это означает, что уравнение выше также будет удовлетворять плоскости P, что эквивалентно уравнению плоскости P:

N · (r - r₀) = 0.

Следовательно, плоскость, проходящая через точку A и параллельная плоскости P, совпадает с плоскостью P. Это доказывает существование такой плоскости.

Теперь докажем, что такая плоскость единственна. Предположим, что существует другая плоскость P', проходящая через точку A и параллельная плоскости P. Поскольку обе плоскости P и P' параллельны, и проходят через точку A, они имеют общую нормаль. Но это означает, что они совпадают, так как плоскость однозначно определяется нормалью и точкой на ней.

Таким образом, мы доказали, что существует и только одна плоскость, проходящая через точку A и параллельная данной плоскости P.