Question

Помогите решить: Корень(3)*sin(x)-cos(x)=-корень(2)

Answer 1

$3\sin x-\cos x=-\sqrt 2;\\\\\sqrt {10}(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x)=-\sqrt2;\\\\ \frac{3}{\sqrt{10}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x=-\frac{\sqrt5}{5}$

Пусть $\frac{3}{\sqrt{10}}=\sin\phi$. Тогда $\frac{1}{\sqrt{10}}=\cos\phi$

$\sin \phi \sin x-\cos \phi \cos x=-\frac{\sqrt5}{5};$

$-\cos(x+\phi)=-\frac{\sqrt5}{5}$

$\cos(x+\phi)=\frac{\sqrt5}{5}$

$x+\phi=\pm \arccos(\frac{\sqrt5}{5})+2\pi k, k\in Z$

С учетом того, что $\frac{1}{\sqrt{10}}=\cos\phi$,  $\phi = \arccos (\frac{1}{\sqrt{10}})$

Окончательно имеем: $x=\pm\arccos (\frac{\sqrt5}{5})-\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})+2\pi k, k\in Z$

ОТВЕТ: $\pm\arccos (\frac{\sqrt5}{5})-\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})+2\pi k, k\in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. У вас есть уравнение:

√3 * sin(x) - cos(x) = -√2

Для начала, давайте попробуем избавиться от косинуса. Мы знаем, что:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Отсюда, выражая cos(x):

cos(x) = √(1 - sin^2(x))

Теперь мы можем подставить это значение в исходное уравнение:

√3 * sin(x) - √(1 - sin^2(x)) = -√2

Теперь возводим оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√3 * sin(x))^2 - (√(1 - sin^2(x)))^2 = (-√2)^2

3 * sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 2

Теперь объединим подобные члены:

4 * sin^2(x) = 3

Теперь делим обе стороны на 4:

sin^2(x) = 3/4

Извлекаем квадратный корень:

sin(x) = ±√3/2

Так как sin(x) не может быть больше 1 по модулю, отбрасываем значение -√3/2.

Итак, у нас есть:

sin(x) = √3/2

Теперь нам нужно найти все углы, для которых синус равен √3/2. Это происходит при углах 60 градусов и 300 градусов (или π/3 и 5π/3 радиан соответственно).

Таким образом, решения уравнения: x = 60° + 360°n и x = 300° + 360°n, где n - целое число.