Question

Визначити півосі, координати вершин і фокусів гіперболи, ексцентриситет і рівняння асимптот. х^2-у^2 =36

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение=============

Answer 2

Дане рівняння гіперболи виглядає так:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$

де $a$ і $b$ - півосі гіперболи.

З вашого рівняння $x^2 - y^2 = 36$ можна відокремити квадрати $x$ та $y$:

$(x - y)(x + y) = 36.$

Згідно з виглядом рівняння гіперболи, півосі $a$ і $b$ можна знайти, використовуючи такі рівності:

$a^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18,$ $b^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18.$

Тепер маємо півосі $a = \sqrt{18}$ та $b = \sqrt{18}$.

Ексцентриситет $e$ гіперболи можна знайти за формулою:

$e = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6.$

Для знаходження координат фокусів можна використовувати такі рівності:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = 6,$

де $c$ - відстань від центра гіперболи до фокусів. Координати фокусів будуть $(\pm c, 0)$, тобто $(6, 0)$ та $(-6, 0)$.

Рівняння асимптот гіперболи можна знайти, використовуючи співвідношення між $a$, $b$ та кутом $\theta$, який утворюють асимптоти з віссю $x$:

$\tan{\theta} = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{18}} = 1.$

Звідси $\theta = \frac{\pi}{4}$ або $45^\circ$. Асимптоти будуть проходити через центр гіперболи $(0, 0)$ з кутом $45^\circ$.

Отже, півосі $a$ і $b$ гіперболи дорівнюють $\sqrt{18}$, фокуси знаходяться в точках $(\pm 6, 0)$, ексцентриситет дорівнює 6, а рівняння асимптот має вигляд $y = x$, $y = -x$.