Question

Вычислить неопределенный интеграл xdx/√(4-x^2)

Answer 1

$\int \dfrac{x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-2x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(4-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{4-x^2}+C=\\\\\\=-\sqrt{4-x^2}+C$

Answer 2

° Ответ: °

• ° На картинке °

Answer 3

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте начнем с подстановки $x = 2\sin(\theta)$, где $\theta$ - это угол, лежащий в интервале $-\pi/2$ до $\pi/2$, так как $\sin(\theta)$ принимает значения в этом интервале, а $\sqrt{4 - x^2}$ является невещественной величиной только в этом диапазоне.

Выполняя подстановку, получаем $dx = 2\cos(\theta)d\theta$, а также $x^2 = 4\sin^2(\theta)$. Подставляя это в интеграл, получаем:

$$\int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{2\sin(\theta)}{\sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)}} \cdot 2\cos(\theta) d\theta = 4\int \frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\sqrt{4\cos^2(\theta)}} d\theta$$

Теперь мы можем упростить подынтегральное выражение, используя тригонометрическое тождество $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$:

$$4\int \frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{\sqrt{4\cos^2(\theta)}} d\theta = 4\int \frac{1}{2} \sin(2\theta) d\theta$$

Интегрируя по переменной $\theta$, получаем:

$$2\int \sin(2\theta) d\theta = -\cos(2\theta) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Не забудьте вернуться к исходной переменной $x$ через подстановку $x = 2\sin(\theta)$:

$$-\cos(2\theta) + C = -\cos\left(2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C.$$

Итак, неопределенный интеграл $\int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} dx$ равен $-\cos\left(2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C$.