Question

Найдите, первообразную функции f(x)= 3 cos x -4 sin x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

F (x) = 3 sin x + 4 cos x + C

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 3cos(x) - 4sin(x), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Для нахождения первообразной функции, мы будем использовать метод интегрирования по частям.

Шаг 1: Разложение функции f(x)

f(x) = 3cos(x) - 4sin(x)

Шаг 2: Выбор u и dv

Пусть u = sin(x), тогда dv = 3cos(x) dx.

Шаг 3: Нахождение du и v

Найдем производную u и интеграл от dv:

du = cos(x) dx v = ∫ dv = ∫3cos(x) dx = 3sin(x)

Шаг 4: Применение формулы интегрирования по частям

∫f(x) dx = uv - ∫v du

Подставим значения u, v, du и dv:

∫(3cos(x) - 4sin(x)) dx = (sin(x))(3sin(x)) - ∫(3sin(x))(cos(x)) dx

= 3sin^2(x) - 3∫sin(x)cos(x) dx

Шаг 5: Вычисление интеграла ∫sin(x)cos(x) dx

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать замену переменных. Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x) dx. Используя замену переменных, получим:

∫sin(x)cos(x) dx = ∫u du = (1/2)u^2 + C = (1/2)sin^2(x) + C

Шаг 6: Замена в исходной формуле

Вернемся к формуле:

∫(3cos(x) - 4sin(x)) dx = 3sin^2(x) - 3∫sin(x)cos(x) dx

Подставим значение ∫sin(x)cos(x) dx:

∫(3cos(x) - 4sin(x)) dx = 3sin^2(x) - 3((1/2)sin^2(x) + C)

= 3sin^2(x) - (3/2)sin^2(x) - 3C

= (3/2)sin^2(x) - 3C

Итак, первообразная функции f(x) = 3cos(x) - 4sin(x) равна (3/2)sin^2(x) - 3C, где C - произвольная постоянная.