Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ . ПОМОГИТЕ с Дифф.ур. Найдите решение уравнения y'=(2-y)tgt, удовлетворяющее начальному условию y(0)=10. В ответе укажите его значение при \(t=\pi/3 \)

Answer 1

Ответ:  y(t) = 10cos(t),  y(π/3) = 5

Пошаговое объяснение:

Найдите решение уравнения y'=(2-y)tgt, удовлетворяющее начальному условию y(0)=10. В ответе укажите его значение при t=pi/3

Решение:

Данное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

                                        y' = (2 - y)tgt

                                          $\frac{y'}{2-y}=tg(t)$

                                         $-\frac{y'}{y-2}=tg(t)$

                                        $\frac{dy}{y-2}=-\frac{sin(t)}{cos(t)} dt$

Интегрируем обе части уравнения

                                      $\int\limits{\frac{dy}{y-2}}} \, dt =-\int\limits{\frac{sin(t)}{cos(t)}} \, dt$

                                     $\int\limits{\frac{dy}{y-2}}} \, dt =\int\limits{\frac{1}{cos(t)}} \, dcos(t)$

                                     lny = lncos(t) + lnC

                                        y(t) = C·cos(t)

Находим константу С  при начальном условии y(0)=10

                        y(0) = C·cos(0) = C = 10

Поэтому искомую функцию можно записать как

                                    y(t) = 10cos(t)

Найдем ее значение при t = π/3

y(π/3) = 10cos(π/3) = 10·(1/2) = 5

Answer 2

Благодарю за оценку! Давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Исходное дифференциальное уравнение: $y' = (2 - y) \tan(t)$.

Для начала, давайте разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\frac{dy}{2 - y} = \tan(t) dt$.

Проинтегрируем левую и правую части:

$-\ln|2 - y| = -\ln|\cos(t)| + C$.

Где $C$ - константа интегрирования. Применяя свойство логарифма $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, можно записать:

$\ln|2 - y| = \ln|\frac{1}{\cos(t)}| + C$.

Применяя экспоненциальную функцию, получим:

$|2 - y| = e^C \cdot \frac{1}{\cos(t)}$.

Так как мы рассматриваем абсолютное значение, можно избавиться от него:

$2 - y = \pm e^C \cdot \frac{1}{\cos(t)}$.

Подставим начальное условие $y(0) = 10$:

$2 - 10 = \pm e^C \cdot \frac{1}{\cos(0)}$, $-8 = \pm e^C$.

С учетом, что константа $C$ может быть как положительной, так и отрицательной:

1. $C = \ln(8)$: $y = 2 + 8 \cdot \frac{1}{\cos(t)}$.

2. $C = -\ln(8)$: $y = 2 - 8 \cdot \frac{1}{\cos(t)}$.

Теперь, чтобы найти значение $y$ при $t = \frac{\pi}{3}$, подставим это значение в оба выражения:

1. $y = 2 + 8 \cdot \frac{1}{\cos(\pi/3)} = 2 + 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{16}{\sqrt{3}}$.

2. $y = 2 - 8 \cdot \frac{1}{\cos(\pi/3)} = 2 - 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 - \frac{16}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, решения уравнения при $t = \frac{\pi}{3}$ равны $2 + \frac{16}{\sqrt{3}}$ и $2 - \frac{16}{\sqrt{3}}$.