Question

Докажите что многочлен x ^ 3 + x ^ 2-7x-10 делится нацело на многочлен x ^ 2-x-5

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

Чтобы доказать, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на многочлен $x^2 - x - 5$, нужно показать, что остаток от деления первого многочлена на второй равен нулю.

По теореме о делении многочленов, для деления $A(x)$ на $B(x)$ с остатком, мы можем записать:

$A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x),$

где $Q(x)$ - частное, $B(x)$ - делитель, $R(x)$ - остаток.

В данном случае, у нас есть:

$A(x) = x^3 + x^2 - 7x - 10$ $B(x) = x^2 - x - 5$ $Q(x)\text{ - частное}$ $R(x)\text{ - остаток}$

Мы хотим показать, что $R(x) = 0$, то есть многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ делится нацело на $x^2 - x - 5$.

Давайте выпишем деление:

$x^3 + x^2 - 7x - 10 = Q(x) \cdot (x^2 - x - 5) + R(x).$

Теперь подставим многочлен $x^2 - x - 5$ вместо $B(x)$ и разделим $A(x)$ на $x^2 - x - 5$ с использованием долгого деления или синтетического деления:

scssCopy code
         x
_________________________
x^2 - x - 5 | x^3 + x^2 - 7x - 10
          -(x^3 - x^2 - 5x)
          _______________
                  2x - 7x
                -(2x - 2)
                __________
                       -5x - 8
                      -(5x + 5)
                      __________
                                -3

Итак, остаток от деления многочлена $x^3 + x^2 - 7x - 10$ на $x^2 - x - 5$ равен $-3$, что не является нулевым. Следовательно, многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ не делится нацело на $x^2 - x - 5$.

Таким образом, мы доказали, что многочлен $x^3 + x^2 - 7x - 10$ не делится нацело на $x^2 - x - 5$.