Question

Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 30 см, чтобы при его вращении вокруг одной из сторон получился цилиндр наибольшего объема?

Answer 1

Ответ:

10 см и 5 см

Пошаговое объяснение:

Объем цилиндра

V=pi * r^2 * h

Полупериметр прямоугольника 15 см

Ширина 10, высота 5, при вращении большая сторона описывает круг (основание), высота цилиндра будет 5 см

V = pi * 25*5 = 125 pi (м^3)

При любых других вариантах объем будет меньше.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится немного математики и оптимизации. Чтобы найти прямоугольник, который при вращении вокруг одной из сторон образует цилиндр наибольшего объема, нужно определить оптимальные размеры этого прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника будет "a", а ширина "b". Тогда периметр прямоугольника равен: 2a + 2b = 30

Выразим a: a = 15 - b

Объем цилиндра можно выразить как πr²h, где r - радиус основания цилиндра, а h - высота цилиндра. Поскольку вращение происходит вокруг стороны длины "a", высота цилиндра будет равна "a", а радиус основания будет равен "b/2".

Таким образом, объем цилиндра можно записать как: V = π * (b/2)² * a = π * (b/2)² * (15 - b)

Для нахождения максимального объема, нужно найти максимум этой функции V относительно "b". Для этого найдем производную V по "b", приравняем её к нулю и найдем оптимальное значение "b".

V' = π * (15b - b²) / 4

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

π * (15b - b²) / 4 = 0 15b - b² = 0 b(15 - b) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для "b": b = 0 и b = 15. Однако, так как "b" - это ширина прямоугольника, "b" не может быть равно 0. Поэтому остается только один вариант:

b = 15

Подставим значение "b" в уравнение для "a":

a = 15 - b a = 15 - 15 a = 0

Таким образом, оптимальный прямоугольник будет иметь ширину 15 см и длину 0 см. Это может показаться странным, но математически именно такой прямоугольник даст максимальный объем цилиндра при вращении вокруг одной из сторон.