Question

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!! f(x)=x^2|x+3| на промежутке [-4;1] Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

найдем производную и приравняем к нулю (это будет экстремум функции)

3х^2-27=0 ---> x^2=9

х1=3; х2=-3

найдем вторую производную, чтобы знать максимум это или минимум

y"=6x

в наш промежуток входит только точка 3

(учитываем наш промежуток [-1; 4] )

подставляем 3*6=18, значит это минимум, т. е. получаем что от -1 до 3 убывает функция, от 3 до 4 возрастает.

Теперь в формулу функции f(x)= x^3 -27x

надо подставить конечные значения интервала и точки минимума

f (-1) = -1 +27=26

f (3) = -54

f (4) = -44

получили что

f (-1) = 26 максимальное значение при х=-1

f (3) = -54 минимальное значение при х= 3 на промежутке [-1; 4]

Answer 2

Давайте разберемся с этой функцией на заданном промежутке $[-4; 1]$ по частям, так как абсолютное значение создает разные случаи для $x$ в зависимости от знака $(x+3)$.

1. Если $x \leq -3$, то $x+3 \leq 0$, и $|x+3| = -(x+3)$. Таким образом, функция $f(x) = x^2 \cdot -(x+3) = -x^3 - 3x^2$ на этом интервале.

2. Если $-3 \leq x \leq -4$, то $x+3 \geq 0$, и $|x+3| = x+3$. Таким образом, функция $f(x) = x^2 \cdot (x+3) = x^3 + 3x^2$ на этом интервале.

3. Если $-4 \leq x \leq -3$, то и $x+3 \geq 0$ и $x+3 \leq 0$, но мы используем модуль, поэтому рассматриваем только значение модуля $|x+3| = x+3$, как и в предыдущем случае. Таким образом, функция $f(x) = x^2 \cdot (x+3) = x^3 + 3x^2$ на этом интервале.

4. Если $-3 \leq x \leq 1$, то $x+3 \geq 0$, и $|x+3| = x+3$. Таким образом, функция $f(x) = x^2 \cdot (x+3) = x^3 + 3x^2$ на этом интервале.

Теперь давайте найдем наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = x^3 + 3x^2$ на интервале $[-4; 1]$. Для этого найдем значения функции на границах интервала (-4 и 1) и в её критических точках (где производная равна нулю).

1. При $x = -4$: $f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 = -64 + 48 = -16$.
2. При $x = 1$: $f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 3 = 4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 + 6x.$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 + 6x = 0.$ $3x(x + 2) = 0.$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = -2$.

Теперь найдем значения функции в этих критических точках:

1. При $x = 0$: $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$.
2. При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

Итак, наименьшее значение функции $f(x)$ на интервале $[-4; 1]$ равно -16 (достигается при $x = -4$), а наибольшее значение равно 4 (достигается при $x = 1$ и $x = -2$).