Question

найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям: xydx=(x+1)*dy y=2 при х=1

Answer 1

Ответ:

$xy\, dx=(x+1)\, dy\\\\\int \dfrac{x\, dx}{x+1}=\int \dfrac{dy}{y}\\\\\\\int \Big(1-\dfrac{1}{x+1}\Big)\, dx=\int \dfrac{dy}{y}\\\\\\x-ln|x+1|=ln|y|+lnC\ \ ,\ \ lne^{x}-ln|x+1|=lny|+lnC\ ,\\\\C\cdot |y|=\dfrac{e^{x}}{|x+1|}\ \ ,\ \ y_{obshee}=\pm \dfrac{e^{x}}{C\cdot |x+1|}\\\\\\y(1)=2:\ \ \ 1-ln2=ln2+lnC\ \ \ \to \ \ \ lnC=1-2ln2=1-ln4=ln\dfrac{e}{4}\\\\\\x-ln|x+1|=ln|y|+ln\dfrac{e}{4}\ \ \to \ \ \ |y|\cdot \dfrac{e}{4}=\dfrac{e^{x}}{|x+1|}\ \ ,\\\\y_{chastnoe}=\pm \dfrac{4\cdot e^{x-1}}{|x+1|}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала выразим dx и dy:

xydx = (x + 1)dy

dx = (x + 1)dy / xy

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫dx = ∫(x + 1)dy / xy

x = ∫(x + 1)dy / y

x = ∫(1 + x/y)dy

x = y + x ln|y| + C

Где C - постоянная интегрирования.

Теперь применим начальные условия y = 2 при x = 1:

1 = 2 + 1 ln|2| + C

C = 1 - 2 - ln|2|

C = -1 - ln|2|

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

x = y + x ln|y| - 1 - ln|2|