Question

Найти первообразную функции f(x) = -3x² + 2x, график которой проходит через точку M (2;-1)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

-3∫x²dx+2∫xdx= -x³+x²+C

-1=-8+4+C

C=3

F(x)= -x³+x²+3

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -3x^2 + 2x$, мы будем искать функцию $F(x)$, производная которой равна данной функции $f(x)$.

Интегрирование производится следующим образом:

$F(x) = \int f(x) \, dx$

В данном случае $f(x) = -3x^2 + 2x$, поэтому:

$F(x) = \int (-3x^2 + 2x) \, dx$

Разбивая интеграл на два слагаемых:

$F(x) = \int -3x^2 \, dx + \int 2x \, dx$

Теперь интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int -3x^2 \, dx = -x^3 + C_1$ $\int 2x \, dx = x^2 + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь суммируем найденные интегралы:

$F(x) = -x^3 + x^2 + C$

Где $C = C_1 + C_2$ - также произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, у нас есть общая первообразная $F(x)$ функции $f(x)$. Однако нам дано, что график функции проходит через точку $M(2, -1)$. Это означает, что значение функции в точке $x = 2$ равно -1:

$F(2) = -2^3 + 2^2 + C = -8 + 4 + C = -4 + C = -1$

Отсюда можно найти значение постоянной $C$:

$C = -1 + 4 = 3$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = -3x^2 + 2x$, проходящей через точку $M(2, -1)$, равна:

$F(x) = -x^3 + x^2 + 3$