Question

Сколько существует способов раскрасить n шаров в 3 цвета (разными вариантами считаются такие, в которых отличается число шаров какого-то цвета).

Answer 1

Требуется найти количество сочетаний с повторениями из трёх по n.

$\overline C_3^n = \frac{(n+3-1)!}{(3-1)!\cdot n!} =$

$= \frac{(n+2)!}{2!\cdot n!} = \frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}$

Замечание: количество сочетаний с повторениями из p по q определяется формулой

$\overline C_p^q = \frac{(q+p-1)!}{(p-1)!\cdot q!}$

Answer 2

Чтобы определить количество способов раскрасить n шаров в 3 цвета, рассмотрим каждый шар по отдельности. У каждого шара может быть один из трех цветов. Таким образом, для каждого шара есть 3 варианта раскраски.

Поскольку каждый шар может быть раскрашен независимо от остальных, мы можем применить правило умножения. В результате, общее число способов раскрасить n шаров будет равно произведению количества вариантов для каждого шара.

Таким образом, общее число способов раскрасить n шаров в 3 цвета составит 3^n.