Question

Решить логарифмическое уравнение (а) и логарифмическое неравенство (б): а). lg⁡(x+√(3))+lg⁡(x-√(3)) = 0;б). 〖log〗_(1/3) (x-2)-〖log〗_(1/3) (12-x)≥2.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

/////////////

Answer 2

Давайте решим данное логарифмическое уравнение (а) и логарифмическое неравенство (б) поочередно:

а) Уравнение:

$\lg(x+\sqrt{3}) + \lg(x-\sqrt{3}) = 0$

Используем свойство логарифма $\lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b)$:

$\lg((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})) = 0$

$\lg(x^2 - 3) = 0$

Теперь избавляемся от логарифма, применяя обратную функцию - возведение в 10:

$x^2 - 3 = 10^0$

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$.

б) Неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) - \log_{\frac{1}{3}}(12-x) \geq 2$

Используем свойство логарифма $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x-2}{12-x}\right) \geq 2$

Теперь избавляемся от логарифма, возведя обе стороны в степень $-\frac{1}{3}$ (обратная функция к $\log_{\frac{1}{3}}$):

$\left(\frac{x-2}{12-x}\right)^{-\frac{1}{3}} \geq 2^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{x-2}} \geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

$\sqrt[3]{x-2} \leq \sqrt[3]{2}$

Возводим обе стороны в куб:

$x - 2 \leq 2$

$x \leq 4$

Таким образом, решением данного неравенства являются значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \leq 4$.