Question

Исследовать функцию на экстремум и построить схематически графикэтой функции: У=√4−x2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y= \sqrt{4-x^{2} }$

1) для существования экстремума в х₀ необходимо условие y'(х₀)=0

найдем эти точки

$y'= (\sqrt{4-x^{2} } )' = -\frac{x}{\sqrt{4-x^{2} } } = 0$  ⇒   x = 0

y'(0) = 2 ; x=0 - точка экстремума, значение функции у(0) =  2

теперь оценим это минимум или максимум

$y'' = \frac{x^{2} }{\sqrt[3]{(4-x^{2})^2 } } - \frac{1}{\sqrt{4-x^{2} } } = - \frac{4}{\sqrt[3]{4-x^{2})^2x} }$

y''(0) = -1/2  < 0 - это точка максимума

2) ООФ

4-х² ≥ 0 -2 ≤ х ≤ 2

2)ОЗФ

0 ≤ у ≤ 2

3)

$y(-x) = \sqrt{4-(-x)^{2} } = \sqrt{4-x^{2} }= y(x)$

функция четная

теперь для построения графика рисуем квадрат

у=0, у=2; х=-2, х=2

точка максимума х=0, значение функции в этой точке у(0)=2,

функция четная.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на экстремумы, нам нужно проанализировать её производные и точки, в которых они обращаются в ноль. Данная функция имеет вид:

$У = \sqrt{4 - x^2}$

Для начала, найдем производную функции $У$ по $x$:

$\frac{dУ}{dx} = \frac{1}{2} \cdot (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0$

Так как знаменатель не может быть равен нулю (иначе функция не определена), это уравнение имеет единственное решение:

$x = 0$

Следовательно, точка экстремума находится в $x = 0$.

Теперь посмотрим на знак производной в интервалах, около $x = 0$, чтобы определить характер экстремума.

• Для $x < 0$, $dУ/dx$ отрицательна, следовательно, функция убывает.
• Для $x > 0$, $dУ/dx$ положительна, так что функция возрастает.

Это означает, что у нас есть минимум функции в точке $x = 0$.

Теперь давайте построим схематический график функции. Так как функция $\sqrt{4 - x^2}$ не определена при $x^2 > 4$ (то есть при $|x| > 2$), график будет представлен полукругом внутри интервала $[-2, 2]$, а его вершина будет в точке (0, 2). В данной точке будет находиться минимум функции.

markdownCopy code
   ^
   |         ____
   |       /      \
2.5|      /          \
   |     /            \
   |    /              \
   |   /                \
   |  /                  \
   | /                    \
   |/______________________\
   |                      /|
   |                     / |
   |                    /  |
-2 +--------------------+---+---->
  -2                   0   2

На графике видно, что функция растет при удалении от $x = 0$ как влево, так и вправо. Само значение функции достигает минимума в точке (0, 2) и увеличивается при приближении к концам интервала $[-2, 2]$.