Question

Наименьшее значение функции y=x5-5x4+5x3+3 на отрезкке[-1;2]

Answer 1

у= х⁵ - 5х⁴ + 5х³ + 3 , [-1; 2].

Производная: у' = 5х⁴ - 20х³ + 15х²= 5х²(х²-4х+3)= 5х²(х-3)(х-1).

Критические точки здесь х=0, х=3 и х=1.

Отрезку [-1; 2] принадлежат только точки х=0 и х=1.

Находим значение функции в точках х= -1, х=0, х=1 и х=2.

у(-1)= (-1)⁵-5×(-1)⁴+5×(-1)³+3= -1-5-5+3= -11+3= -8.

у(0)= 0-0+0+3= 3.

у(1)= 1⁵-5×1⁴+5×1³+3= 1-5+5+3= 4.

у(2)= 2⁵-5×2⁴+5×2³+3= 32-80+40+3= -5.

Наибольшим значением функции на данном отрезке является у(1)=4, а наименьшим у(-1)= -8.

Ответ: min y(x)= y(-1)= -8.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 3$ на отрезке $[-1, 2]$, нужно следовать следующим шагам:

1. Найдите критические точки функции внутри данного интервала, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Проверьте значение функции в найденных критических точках, а также на концах интервала $[-1, 2]$.
3. Найдите наименьшее значение среди всех найденных значений.

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 3$: $y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2.$

Теперь найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0.$

Факторизуем: $5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0.$

Решим уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$: $(x - 3)(x - 1) = 0.$ Отсюда получаем две критические точки: $x = 1$ и $x = 3$.

2. Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах интервала $[-1, 2]$: Для $x = -1$: $y = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 + 3 = -1 + 5 - 5 + 3 = 2$. Для $x = 1$: $y = 1^5 - 5 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 + 3 = 1 - 5 + 5 + 3 = 4$. Для $x = 2$: $y = 2^5 - 5 \cdot 2^4 + 5 \cdot 2^3 + 3 = 32 - 80 + 40 + 3 = -5$. Для $x = 3$: $y = 3^5 - 5 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^3 + 3 = 243 - 405 + 135 + 3 = -24$.

3. Найдем наименьшее значение среди всех найденных значений: наименьшее значение равно -24.

Итак, наименьшее значение функции $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 3$ на интервале $[-1, 2]$ равно -24.