Question

С помощью метода математической индукции докажите, что для любого натурального числа верно утверждение: (15^n + 6) : 7

Answer 1

Ответ:

ч.т.д

Пошаговое объяснение:

(15^n + 6) : 7

Проверим выражение для n=1

21/7=3, - верно

Допустим, что утверждение верно при n=k:

15^k + 6 кратно 7, тогда при n=k+1 выражение примет вид:

15*15^k +6 = (14+1)*15^k + 6= 15^k + 6 + 14*15^k

15^k+6 кратно 7 по условию, а 14*15^k кратно 7 при любом значении k, так как 14 кратно 7, значит утверждение верно

Answer 2

Для доказательства по математической индукции необходимо выполнить два шага: базовый шаг и шаг индукции.

Базовый шаг: Для n = 1 утверждение имеет вид: (15^1 + 6) : 7 = (15 + 6) : 7 = 21 : 7 = 3. Это действительно верно, так как 3 является целым числом.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть (15^k + 6) : 7 = m, где m - целое число.

Докажем, что утверждение также верно для k + 1. Нам нужно доказать, что ((15^(k+1) + 6) : 7) тоже является целым числом.

Рассмотрим выражение (15^(k+1) + 6) : 7: (15^(k+1) + 6) : 7 = (15 * 15^k + 6) : 7 = (15 * 15^k) : 7 + 6 : 7.

Сначала рассмотрим часть (15 * 15^k) : 7: (15 * 15^k) : 7 = 15^(k+1) : 7.

По предположению индукции, мы знаем, что 15^k : 7 является целым числом. Таким образом, 15^(k+1) : 7 также является целым числом.

Теперь рассмотрим часть 6 : 7: 6 : 7 является рациональным числом, но оно не обязательно целое.

Так как сумма целого числа и рационального числа является рациональным числом, то ((15^(k+1) + 6) : 7) также будет рациональным числом.

Таким образом, мы видим, что ((15^(k+1) + 6) : 7) представляет собой сумму целого числа и рационального числа, следовательно, оно тоже является рациональным числом.

Итак, мы показали, что если утверждение верно для натурального числа k, то оно также верно для k + 1. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел по принципу математической индукции.

Таким образом, доказано, что для любого натурального числа n верно утверждение: (15^n + 6) : 7 является целым числом.