Question

Указать вид уравнения и решить его (x²+9)y'=4xy CРОЧНО

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

это  линейное однородное дифференциальное уравнение первого  порядка

(его можно привести к виду y'+P(x) =0; )

(x²+9)y'=4xy

решаем

$\frac{y'}{y} = \frac{4x}{x^{2} -9}$

$\int\limits \frac{y'}{y} \, dx = \int\limits \frac{4x}{x^{2} -9} \, dx$

ln(y(x) = 2ln(x²+9) +C₁

$y(x) = e^{C_{1} } (x^{2} +9)^{2}$

переопределим переменные и получим

у(х) = С₂(х²+9)²

Answer 2

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как можно переписать его в виде:

$(x^2 + 9) \frac{dy}{dx} = 4xy$.

Далее, можно разделить переменные, переместив члены с $y$ в одну часть, а члены с $x$ и $dx$ в другую:

$\frac{dy}{y} = \frac{4x}{x^2 + 9} dx$.

Теперь можно проинтегрировать обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{4x}{x^2 + 9} \, dx.$

Интегрируя левую часть, получаем:

$\ln|y| = \int \frac{4x}{x^2 + 9} \, dx.$

Для интегрирования правой части можно сделать замену переменной, например $u = x^2 + 9$, откуда $du = 2x \, dx$:

$\int \frac{4x}{x^2 + 9} \, dx = 2 \int \frac{1}{u} \, du = 2 \ln|u| + C = 2 \ln|x^2 + 9| + C.$

Объединяя результаты интегрирования, получаем:

$\ln|y| = 2 \ln|x^2 + 9| + C.$

Теперь можно избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

$|y| = e^{2 \ln|x^2 + 9| + C} = e^C \cdot e^{2 \ln|x^2 + 9|} = K \cdot (x^2 + 9)^2,$

где $K = e^C$ – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения $(x^2 + 9)y' = 4xy$ имеет вид:

$|y| = K \cdot (x^2 + 9)^2,$

где $K$ – произвольная ненулевая константа.