Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения второго порядка - x (y"+1)=-y'

Answer 1

Ответ:

$y=C_1\ln|x|-\frac{x^2}{4}+C_2$

Пошаговое объяснение:

$x(y''+1)=-y'$

Это уравнение допускает понижение порядка с помощью следующей замены: $y'=u$

$x(u'+1)=-u => xu'+x=-u => xu'+u=-x;$

Это неоднородное линейное уравнение. Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: $u=u_o+\bar u$

Рассмотрим однородное уравнение:

$xu'+u=0 => x\frac{du}{dx} = -u => \frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} => \ln|u|=-\ln|x|+\ln|C|=>\ln|u|=\ln|\frac{C}{x}| => u_o=\frac{C}{x}$

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: $\bar u = Ax+B$:

$xA+Ax+B=-x => 2Ax+B=-x => A=-\frac{1}{2}, B=0 => \bar u = -\frac{x}{2}$

То есть общее решение есть: $u = \frac{C}{x} -\frac{x}{2}$

Возвращаемся к замене:

$y' = \frac{C}{x} - \frac{x}{2} => y=\int (\frac{C}{x}-\frac{x}{2})dx = C_1\ln|x|-\frac{x^2}{2} + C_2$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить методом вариации постоянных. Давайте предположим, что общее решение имеет вид y = e^(rx), где r - это неизвестная константа.

Выполним необходимые дифференцирования:

y' = re^(rx) y'' = r^2e^(rx)

Подставим эти значения в исходное уравнение:

-x (r^2e^(rx) + 1) = -re^(rx) xr^2e^(rx) + xe^(rx) = re^(rx)

Разделим обе стороны на e^(rx):

xr^2 + x = r

Теперь у нас есть квадратное уравнение для r:

xr^2 - r + x = 0

Используя квадратную формулу, найдем значения r:

r = (1 ± √(1 - 4x^2)) / (2x)

Теперь у нас есть два возможных значения r, и каждое из них дает нам одну часть общего решения:

1. Если 1 - 4x^2 > 0 (то есть x^2 < 1/4), то у нас есть два действительных различных значения r, скажем r1 и r2. Общее решение будет иметь вид:

   y(x) = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x)

2. Если 1 - 4x^2 = 0 (то есть x^2 = 1/4), то у нас есть одно действительное значение r = 1/2x. Общее решение будет иметь вид:

   y(x) = (c1 + c2 * x) * e^(1/2x)

3. Если 1 - 4x^2 < 0 (то есть x^2 > 1/4), то у нас есть два комплексных сопряженных значения r = α ± βi, где α = 1 / (2x) и β = √(4x^2 - 1) / (2x). Общее решение будет иметь вид:

   y(x) = e^(αx) * (c1 * cos(βx) + c2 * sin(βx))

Здесь c1 и c2 - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны.