Question

Для заданного бинарного отношения R на множестве А = {а, b, с} определите, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным: R = {(а, а), (а, с), (с, b), (а, b), (b, b), (с, с)}

Answer 1

1) Является рефлексивным так как $i_a\in R$ (имеет все диагональные пары)

2) Не симметрично, так как $\in R,\ \notin R$

3) Антисимметрично, так как $\in R,\ \in R\ \Rightarrow x=y\ (a=a)$ и т.д.

4) Транзитивно:

$\in R\ \in R\ \Rightarrow \in R\\\\\in R\ \in R\ \Rightarrow \in R\\\\\cdots$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым свойством отношения R на множестве A = {а, b, с}.

Отношение R = {(а, а), (а, с), (с, b), (а, b), (b, b), (с, с)}

1. Рефлексивность: Отношение R является рефлексивным, если для каждого элемента x из множества A выполняется (x, x) ∈ R. В данном случае, мы видим, что все элементы a, b и c имеют пары (a, a), (b, b) и (c, c) в R, соответственно, оно рефлексивно.

2. Симметричность: Отношение R является симметричным, если для каждой пары (x, y) входящей в R, также входит пара (y, x). Пары (а, с) и (с, а) входят в R, но пара (с, b) входит, а пара (b, с) нет, следовательно, отношение R не является симметричным.

3. Антисимметричность: Отношение R является антисимметричным, если для каждой пары различных элементов (x, y), если (x, y) входит в R, то (y, x) не входит в R. В данном случае, пары (a, с) и (с, b) входят в R, но пары (с, a) и (b, с) также входят. Поэтому R не является антисимметричным.

4. Транзитивность: Отношение R является транзитивным, если для всех пар (x, y) и (y, z), если обе эти пары входят в R, то также должна входить пара (x, z). В данном случае, пары (а, с) и (с, b) входят в R, но пара (а, b) не входит. Поэтому R не является транзитивным.

Итак, наше отношение R = {(а, а), (а, с), (с, b), (а, b), (b, b), (с, с)}:

• Рефлексивное: Да.
• Симметричное: Нет.
• Антисимметричное: Нет.
• Транзитивное: Нет.