Question

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,5. Найдите вероятность двух попаданий при трех выстрелах.

Answer 1

Обозначим попадание буквой П, непопадание – Н.

Рассмотрим все события, которые могут случиться при трёх выстрелах:

П П П

Н Н Н

П Н Н

Н П Н

Н Н П

П П Н

П Н П

Н П П

Нам подходят последние 3 варианта (2 П и 1 Н). Всего вариантов 8. Т.к. вероятности попасть и не попасть одинаковы (0.5), то вероятность попасть 2 раза из 3 равна 3/8.

Answer 2

Вероятность успеха в одном испытании $p=0{,}5$, тогда вероятность противположного события равна $q=1-p=0{,}5.$ Вероятность двух попаданий при трёх выстрелах, по формуле Бернулли, равна

$P_3(2)=C^2_3p^2q=3\cdot 0{,}5^3=0{,}375$

Answer 3

Для решения данной задачи можно использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два исхода: попадание или промах.

Формула для биномиального распределения: $P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k},$ где:

• $P(X = k)$ - вероятность того, что произойдет $k$ успешных исходов (в данном случае попаданий),
• $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$ (количество способов выбрать $k$ успешных исходов из $n$ попыток),
• $p$ - вероятность одного успешного исхода (попадания),
• $n$ - общее количество испытаний (выстрелов).

В данной задаче $p = 0,5$ (вероятность попадания) и $n = 3$ (всего выстрелов). Нам нужно найти вероятность двух попаданий ($k = 2$).

Подставим значения в формулу: $P(X = 2) = C_3^2 \cdot 0,5^2 \cdot (1 - 0,5)^{3 - 2}.$

Вычислим каждую часть формулы: $C_3^2 = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3}{2} = 1,5.$ $0,5^2 = 0,25.$ $(1 - 0,5)^{3 - 2} = 0,5.$

Теперь умножим все части вместе: $P(X = 2) = 1,5 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,375.$

Итак, вероятность получить два попадания из трех выстрелов составляет 0,375 или 37,5%.