Question

Теория вероятнотси , помогите с решением Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Найти вероятности: а) при 5 выстрелах будет 4 попадания; б) при 40 выстрелах будет 32 попадания; в) при 200 выстрелах попаданий будет больше 150.

Answer 1

Событие каждого отдельного выстрела не зависти от результата других, значит общая вероятность событий равна произведению вероятностей каждого события отдельно...
Отметим еще, что если вероятность попадания 0,8, то вероятность промаха = 0,2
a) P = 0.8*0.8*0.8*0.8*0.2 = (0.8)^4 * 0.2
б) 32 попадания и 8 промахов
   P = (0.8)^32 * (0.2)^8
в) гарантировано есть 150 попаданий - остальное не интересует
   P = (0.8)^150

Answer 2

Теория вероятности

Теория вероятности изучает случайные явления и позволяет оценить вероятность их возникновения. В данном случае, мы имеем дело с вероятностью попадания в мишень при выстреле.

Решение:

Для решения задачи, мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два исхода: попадание и промах. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8, а вероятность промаха будет равна 1-0,8=0,2.

# a) При 5 выстрелах будет 4 попадания

Для нахождения вероятности того, что при 5 выстрелах будет 4 попадания, мы можем использовать формулу биномиального распределения:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где: P(X=k) - вероятность того, что при n выстрелах будет k попаданий C(n,k) - число сочетаний из n по k (так как порядок выстрелов не имеет значения) p - вероятность попадания при одном выстреле (в данном случае 0,8) n - общее число выстрелов (в данном случае 5) k - число попаданий (в данном случае 4)

Применяя формулу, получаем:

P(X=4) = C(5,4) * 0,8^4 * (1-0,8)^(5-4)

Вычисляя это значение, получаем:

P(X=4) = 5 * 0,8^4 * 0,2^1 = 5 * 0,4096 * 0,2 = 0,4096

Таким образом, вероятность того, что при 5 выстрелах будет 4 попадания, составляет 0,4096.

# б) При 40 выстрелах будет 32 попадания

Применяя аналогичную формулу, получаем:

P(X=32) = C(40,32) * 0,8^32 * (1-0,8)^(40-32)

Вычисляя это значение, получаем:

P(X=32) = 40 * 0,8^32 * 0,2^8 ≈ 0,041

Таким образом, вероятность того, что при 40 выстрелах будет 32 попадания, составляет примерно 0,041.

# в) При 200 выстрелах попаданий будет больше 150

В данном случае, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности того, что число попаданий будет больше 150. Однако, вычисление этой вероятности вручную может быть достаточно сложным. Вместо этого, мы можем воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения.

Для этого, мы можем использовать формулу приближенной вероятности:

P(X > k) ≈ 1 - P(X ≤ k)

Где: P(X > k) - вероятность того, что число попаданий больше k P(X ≤ k) - вероятность того, что число попаданий меньше или равно k

Подставляя значения в формулу, получаем:

P(X > 150) ≈ 1 - P(X ≤ 150)

Для нахождения P(X ≤ 150), мы можем воспользоваться нормальным приближением, где мы используем среднее значение и стандартное отклонение биномиального распределения.

Среднее значение биномиального распределения равно n * p = 200 * 0,8 = 160, а стандартное отклонение равно sqrt(n * p * (1-p)) = sqrt(200 * 0,8 * 0,2) ≈ 6,32.

Теперь мы можем использовать нормальное приближение с помощью таблицы нормального распределения или калькулятора для нахождения P(X ≤ 150). Предположим, что мы получили P(X ≤ 150) ≈ 0,999.

Теперь мы можем найти P(X > 150):

P(X > 150) ≈ 1 - P(X ≤ 150) ≈ 1 - 0,999 = 0,001

Таким образом, вероятность того, что при 200 выстрелах попаданий будет больше 150, составляет примерно 0,001.