Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y′ − y ∙ ctg (x) = 2x ∙ sin(x)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала перепишем его в виде:

y' - y * cot(x) = 2x * sin(x)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с коэффициентами, зависящими от переменной x. Для его решения мы будем использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель. Для этого умножим уравнение на функцию, обратную к функции cot(x), то есть tan(x):

tan(x) * (y' - y * cot(x)) = tan(x) * (2x * sin(x))

Получаем:

y' * tan(x) - y * tan(x) * cot(x) = 2x * tan(x) * sin(x)

Заметим, что tan(x) * cot(x) = 1, а также, что производная tan(x) равна sec^2(x). Теперь уравнение принимает вид:

y' * tan(x) - y = 2x * tan(x) * sin(x)

Шаг 2: Решим полученное линейное уравнение относительно y'. Разделим всё уравнение на tan(x):

y' - y / tan(x) = 2x * sin(x)

Теперь это уравнение имеет стандартную форму линейного дифференциального уравнения первого порядка:

y' - P(x) * y = Q(x)

где P(x) = 1 / tan(x) и Q(x) = 2x * sin(x).

Шаг 3: Найдем интегрирующий множитель μ(x):

μ(x) = exp(∫P(x) dx) μ(x) = exp(∫cot(x) dx) μ(x) = exp(ln|sin(x)|) μ(x) = |sin(x)|

Шаг 4: Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

|sin(x)| * y' - |sin(x)| * y / tan(x) = 2x * sin(x) * |sin(x)|

Получаем:

|sin(x)| * y' - |sin(x)| * cot(x) * y = 2x * sin^2(x)

Теперь уравнение имеет вид:

d/dx (|sin(x)| * y) = 2x * sin^2(x)

Шаг 5: Интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫d/dx (|sin(x)| * y) dx = ∫2x * sin^2(x) dx

|sin(x)| * y = ∫2x * sin^2(x) dx + C

где C - константа интегрирования.

Шаг 6: Выразим y:

y = (1 / |sin(x)|) * ∫2x * sin^2(x) dx + C / |sin(x)|

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = 2 * ∫x * sin(x) dx / |sin(x)| + C / |sin(x)|

где C - произвольная константа.