Question

Вычислить двойной интеграл (под вторым D) xdxdy если D:y=Корень из X , y=x

Answer 1

$\iint\limits_Dxdxdy=\int\limits^1_0xdx\int\limits^{\sqrt{x}}_{x}dy=\int\limits^1_0x\cdot y\Big|^{\sqrt{x}}_{x}dx=\int\limits^1_0x\cdot\Big (\sqrt{x}-x\Big)dx=\\ \\ \\ =\int\limits^1_0x^{3/2}dx-\int\limits^1_0x^2dx=\frac{2x^{5/2}}{5}\Big|^1_0-\frac{x^3}{3}\Big|^1_0=\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$

Answer 2

Для вычисления данного двойного интеграла мы должны определить пределы интегрирования для переменных x и y, основываясь на области интегрирования D, описанной в условии.

Область D ограничена графиками функций y = √x и y = x. Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения этих двух кривых:

y = √x y = x

Приравняем выражения и решим относительно x: √x = x

Возведем обе стороны в квадрат: x = x^2

Решением этого уравнения является x = 0 и x = 1.

Таким образом, область интегрирования D лежит между x = 0 и x = 1.

Поскольку y ограничивается двумя функциями, нижний предел интегрирования для y будет y = √x, а верхний предел будет y = x.

Теперь мы можем записать интеграл и произвести вычисления:

∫∫_D x dA = ∫(x=0 to 1) ∫(y=√x to x) x dy dx

Сначала интегрируем по y: ∫(x=0 to 1) [∫(y=√x to x) x dy] dx = ∫(x=0 to 1) [x * (x - √x)] dx

Теперь проинтегрируем по x: ∫(x=0 to 1) [x^2 - x^(3/2)] dx = [(1/3)x^3 - (2/5)x^(5/2)] (от 0 до 1) = (1/3 - 2/5) - (0 - 0) = 5/15 - 6/15 = -1/15

Итак, значение двойного интеграла ∫∫_D x dA равно -1/15.