Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x²+4, у = 0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁= 4 - x²; y₂=0

площадь фигуры равна значению определенного интеграла от (у₁-у₂) на отрезке  [х₁, х₂]

найдем пределы интегрирования

4 - x² = 0;  ⇒ х₁= -2, х₂= 2

$\int\limits^{2}_{-2} {(4-x^{2} )} \, dx = 4\int\limits^{2}_{-2} {} \, dx - \int\limits^{2}_{-2} {(x^{2} )} \, dx = 4xI_{-2} ^{2} - \frac{x^{3} }{3} I_{-2} ^{2} = -\frac{16}{3} +16=\frac{32}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = -x² + 4 и y = 0, необходимо найти точки пересечения этих двух функций и затем вычислить площадь под графиком функции y = -x² + 4, ограниченную между найденными точками.

Первым шагом найдем точки пересечения:

Подставим y = 0 в уравнение y = -x² + 4: 0 = -x² + 4

Решим это уравнение относительно x: x² = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения на оси x равны x = -2 и x = 2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена горизонтальной осью x между x = -2 и x = 2. Мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями и графиком функции y = -x² + 4.

Площадь под графиком функции между двумя точками можно найти интегрированием функции по переменной x в пределах этих точек:

Площадь = ∫[a, b] (-x² + 4) dx

Где a = -2 и b = 2.

Интегрируя функцию, получим: Площадь = [-x³/3 + 4x] от -2 до 2 = [(-2³/3 + 42) - (-(-2)³/3 + 4(-2))]

Вычислим значения: = [(-8/3 + 8) - (8/3 + 8)] = [16/3 - 16/3] = 0

Площадь фигуры ограниченной графиком функции y = -x² + 4 и y = 0 равна 0.