Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^4-6x^2+1 на отрезке [-1;3]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=x⁴-6x²+1

f'(x)=4x³-12x

4x³-12x=0

4x(x-3)=0

x₁=0

x₂=3

f(-1)=(-1)⁴-6*(-1)²+1=1-6+1= -4

f(0)=0⁴-6*0²+1=1

f(3)=3⁴-6*3²+1=81-54+1=28

y наиб.=28

y наим.= -4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^4 - 6x^2 + 1 на заданном отрезке [-1;3], мы должны найти критические точки и точки, где функция достигает своих краевых значений на этом интервале.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 4x^3 - 12x

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 4x^3 - 12x = 0 4x(x^2 - 3) = 0

Это уравнение имеет три решения: x = 0, x = √3 (положительный корень квадратного корня из 3), x = -√3 (отрицательный корень квадратного корня из 3).

3. Теперь оценим значения функции в найденных критических точках и на граничных точках интервала [-1;3]:

• Подставляя x = -1: f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 1 = 7
• Подставляя x = 0: f(0) = 0^4 - 6(0)^2 + 1 = 1
• Подставляя x = √3: f(√3) = (√3)^4 - 6(√3)^2 + 1 = 3 - 18 + 1 = -14
• Подставляя x = -√3: f(-√3) = (-√3)^4 - 6(-√3)^2 + 1 = 3 - 18 + 1 = -14
• Подставляя x = 3: f(3) = 3^4 - 6(3)^2 + 1 = 81 - 54 + 1 = 28

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [-1;3] равно -14 и достигается в точках x = √3 и x = -√3, а наибольшее значение равно 28 и достигается в точке x = 3.