Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^3-6x^2 на отрезке [-4;3]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=x³-6x²

f'(x)=3x²-12x

3x²-12x=0

3x(x-4)=0

x₁=0

x₂=4  

f(-4)=(-4)³-6*(-4)²= -64-96= -160

f(0)=0³-6*0²=0

f(3)=3³-6*3²=27-54= -27

y наиб.=0

y наим.= -160

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ на отрезке $[-4, 3]$, необходимо проанализировать значения функции на границах отрезка и в её критических точках (где производная равна нулю или не существует).

1. Границы отрезка: $x = -4$ и $x = 3$: $f(-4) = (-4)^3 - 6(-4)^2 = -64 + 96 = 32$ $f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 = 27 - 54 = -27$

2. Найдём производную функции: $f(x) = x^3 - 6x^2$ $f'(x) = 3x^2 - 12x$ $f''(x) = 6x - 12$

   Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю: $3x^2 - 12x = 0$ $3x(x - 4) = 0$

   Из этого следует, что $x = 0$ или $x = 4$.

3. Оценим значения функции в найденных точках: $f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$ $f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32$

Таким образом, на отрезке $[-4, 3]$ наименьшее значение функции $f(x)$ равно -32 и достигается в точке $x = 4$, а наибольшее значение равно 32 и достигается в точке $x = -4$.