Question

Даю 50 баллов Дано пять последовательных чисел, каждое из которых больше 9 именьше 100. Известно, что среди этих чисел есть три, сумма которыхкратна 71, а также три числа, сумма, которых кратна 37. Найдите этичисла. Доказать, что других нетСрочно

Answer 1

Ответ:

22   23   24   25   26

Пошаговое объяснение:

Есть 5 чисел: x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2. заметим, что сумма самой большой тройки и самой маленькой равна 6, а значит, что 71 * n отлично от 37 * m не более, чем на 6. также, тройка не более, чем 97 + 98 + 99 = 294. Посмотрим, чему может равняться 71 * n:

71                172                213                        284

Теперь 37 * n:

37             74               111                    148                185             222          259

единственное, что подходит, это 71 и 74. Теперь посмотрим на первое условие: 3х + n делится на 71, поскольку 71 дает остаток 2 при делении на 3, то n = 2 или - 1, то есть эта тройка либо  x - 1    x + 1    x + 2   либо    х     x + 1    x - 2 . Если это 3х + 2 = 71, то х = 23, если 3х - 1 = 71, то х = 24, теперь 37: у 74 та же ситуация (остаток 2), и варианты суммы те же, теперь подставим:  3х + 2 = 74, то х = 24, если 3х - 1 = 74, то х = 25. Но поскольку х должен и с 71, и с 74 быть одинаков, то х = 24, следовательно числа: 22   23   24   25   26

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть пять последовательных чисел обозначаются как $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$ и $x+4$, где $x$ - наименьшее из пяти чисел.

Условие задачи гласит, что среди этих чисел есть три, сумма которых кратна 71, и еще три числа, сумма которых кратна 37.

Для того чтобы сумма трёх чисел была кратна 71, можно записать следующее:

$$x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3$$

Эта сумма должна быть кратна 71. Следовательно, мы можем записать:

$$3x + 3 = 71k \quad \text{(1)}$$

где $k$ - некоторое целое число.

Аналогично, для суммы трёх чисел, кратной 37, получим:

$$x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3$$

Эта сумма должна быть кратна 37. Таким образом:

$$3x + 3 = 37n \quad \text{(2)}$$

где $n$ - некоторое целое число.

Теперь мы имеем систему уравнений из двух уравнений $(1)$ и $(2)$, и мы можем попробовать найти целочисленные решения для $x$, $k$ и $n$. Однако, в этой системе нет таких целых значений $x$, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно.

Таким образом, не существует пяти последовательных целых чисел, каждое из которых больше 9 и меньше 100, таких, что среди них были бы три числа с суммой, кратной 71, и три числа с суммой, кратной 37.

Исходя из этого, можно заключить, что других решений для данной задачи не существует.