Question

Решите уравнение: 2Cos2x – Cos x -1=0.

Answer 1

2Cos2x – Cos x - 1 = 0

Представим Cos2x = cos²x - sin²x

Из основного тригонометрического тождества cos²x + sin²x = 1 выразим sin²x

sin²x = 1 -  cos²x

Получается cos²x - sin²x = cos²x - ( 1 -  cos²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2 cos²x - 1

Подставляем в изначальное уравнение

2*(2 cos²x - 1) – Cos x - 1 = 0

4 cos²x - 2 – Cos x - 1 = 0

4 cos²x – Cos x - 3 = 0

Пусть cos x = t , тогда

4t² - t - 3 = 0

D = (-1)² - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49 = 7²

$t_{1} = \frac{1+7}{2*4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_{2} = \frac{1-7}{2*4} = - \frac{6}{8} = - \frac{3}{4}$

Вернёмся к замене:

cos x = 1

$x = 2\pi n$ , n∈Z

$cos x = - \frac{3}{4}$

x = ± arccos $(-\frac{3}{4})+2\pi k$ , k∈Z

Ответ: $x = 2\pi n$ , n∈Z ; x = ± arccos $(-\frac{3}{4})+2\pi k$ , k∈Z .

Answer 2

Для решения данного уравнения 2Cos2x – Cos x - 1 = 0, давайте введем замену переменной:

Пусть t = Cos x. Тогда у нас есть уравнение:

2t^2 - t - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -1 и c = -1.

D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1, t2 = (-b - √D) / (2a) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2.

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. t = Cos x. Значит, x = arccos(1) = 0.
2. t = -1/2. Значит, x = arccos(-1/2).

Угол, для которого Cos x = -1/2, равен 120 градусам или 2π/3 радиан.

Итак, у нас есть два решения:

1. x = 0.
2. x = 2π/3.

Пожалуйста, обратите внимание, что тригонометрические функции могут иметь множество периодических решений, и указанные здесь решения могут быть только частью всех возможных решений.