Question

Найдите объём тела вращения, которое получается при вращении прямоугольника со сторонами 7см и 4 см вокруг оси, проходящей через большую сторону.

Answer 1

Ответ:

тело вращения - цилиндр с основанием 4 см и высотой 7 см

Объём V = 16π·7=112π cм³

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти объем тела вращения, получаемого вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его большую сторону, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Для этого нужно следующее:

1. Рассмотреть прямоугольник как вытянутую полоску, ширина которой равна меньшей стороне (4 см), а длина — большей стороне (7 см).
2. Вращая эту полоску вокруг оси, проходящей через большую сторону (длину), мы создаем цилиндрические оболочки.
3. Разбиваем эту полоску на бесконечно маленькие полоски (по высоте), каждая из которых при вращении образует тонкую цилиндрическую оболочку. Высота такой полоски равна дифференциалу dx.

Объем каждой цилиндрической оболочки можно найти по формуле: V = 2πx * h * w, где:

• x - расстояние от оси вращения до текущей полоски (от 0 до 4 см),
• h - высота полоски (dx),
• w - ширина полоски (4 см).

Интегрируя эту формулу по x от 0 до 4, мы получим объем всего тела вращения.

V = ∫(от 0 до 4) 2πx * dx * 4 V = 8π * ∫(от 0 до 4) x dx V = 8π * [x^2/2] (от 0 до 4) V = 8π * [(4^2/2) - (0^2/2)] V = 8π * (8) V = 64π см³.

Итак, объем тела вращения составляет 64π кубических сантиметра.