Question

НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ f(x) на отрезке (-2;3), если f(x) =x^3 - 7,5x^2+18x+4

Answer 1

f'(x) = 3x²-7.5*2x+18 = 3x²-15x+18 = 3*(x²-5x+6)

x²-5x+6=0

D=25-4*6 = 1

X1=5-1/2 = 2

X2=5+1/2=3

f(-2) = -8-7.5*4-36+4 = -70

f(3) = 27-7.5*9+54+4 = 17.5

f(2) = 8-7.5*4+36+4 = 18

НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ f(x) на отрезке (-2;3) = -70

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = x^3 - 7.5x^2 + 18x + 4 на интервале (-2; 3), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
3. Исследуйте значение производной и второй производной в этих критических точках, чтобы определить характер изменения функции.
4. Определите значения функции f(x) в найденных критических точках и на границах интервала (-2; 3).
5. Найдите минимальное значение среди всех найденных значений.

Давайте последовательно выполнять каждый из этих шагов.

1. Производная функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 15x + 18.

2. Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 15x + 18 = 0. Вынесем общий множитель 3: x^2 - 5x + 6 = 0. Решим квадратное уравнение: (x - 2)(x - 3) = 0. Получаем две критические точки: x = 2 и x = 3.

3. Исследуем характер изменения функции: Подставим значения x = 2 и x = 3 в f'(x): f'(2) = 3(2)^2 - 15(2) + 18 = 12 - 30 + 18 = 0, f'(3) = 3(3)^2 - 15(3) + 18 = 27 - 45 + 18 = 0.

   Поскольку в обеих критических точках производные равны 0, нам нужно провести дополнительное исследование, например, анализировать вторую производную.

   f''(x) = 6x - 15.

   Подставим значения x = 2 и x = 3 в f''(x): f''(2) = 6(2) - 15 = 12 - 15 = -3 < 0 (точка перегиба), f''(3) = 6(3) - 15 = 18 - 15 = 3 > 0 (минимум).

   Таким образом, точка x = 3 - потенциальная точка минимума.

4. Определим значения функции f(x) в критических точках и на границах интервала: f(2) = 2^3 - 7.5 * 2^2 + 18 * 2 + 4 = 8 - 30 + 36 + 4 = 18, f(3) = 3^3 - 7.5 * 3^2 + 18 * 3 + 4 = 27 - 67.5 + 54 + 4 = 17.5.

   Также найдем значения на границах интервала: f(-2) = (-2)^3 - 7.5 * (-2)^2 + 18 * (-2) + 4 = -8 - 30 - 36 + 4 = -70, f(3) = 3^3 - 7.5 * 3^2 + 18 * 3 + 4 = 27 - 67.5 + 54 + 4 = 17.5.

5. Найдем наименьшее значение среди всех найденных значений: Наименьшее значение равно -70.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 7.5x^2 + 18x + 4 на интервале (-2; 3) равно -70.