Question

Даю 35 баллов Вычислить ∫²₀ x(3-x)dx

Answer 1

Ответ:

Подставляем по формуле Ньютона-лейбница. Получаем:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^2_0 {3x} \, dx -\int\limits^2_0 {x^2} \, dx =\frac{3x^2}{2} -\frac{x^3}{3}+C|=\frac{10}{3}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить данный интеграл.

∫₂₀ x(3 - x) dx

Давайте разберемся с этим интегралом по частям. Для интегрирования по частям используется следующая формула:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Выберем u = x(3 - x) и dv = dx.

Тогда мы получим: du = (3 - 2x) dx, v = ∫ dv = x.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫ x(3 - x) dx = uv - ∫ v du = x(x(3 - x)) - ∫ x(3 - 2x) dx = 3x² - x³ - ∫ (3x - 2x²) dx = 3x² - x³ - (3/2)x² + (2/3)x³ + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования (20 и 2 соответственно) и вычислим:

∫₂₀ x(3 - x) dx = [3(20)² - (20)³ - (3/2)(20)² + (2/3)(20)³] - [3(2)² - (2)³ - (3/2)(2)² + (2/3)(2)³] = [3(400) - 800 - (3/2)(400) + (160/3)] - [3(4) - 8 - (3/2)(4) + (16/3)] = [1200 - 800 - 600/2 + 160/3] - [12 - 8 - 6/2 + 16/3] = [400 - 300 + 160/3] - [4 - 3 + 16/3] = 100 + 160/3 - 1/3 = 100 + 159/3 = 100 + 53 = 153.

Таким образом, значение интеграла ∫₂₀ x(3 - x) dx равно 153.