Question

1. Найдите производную функции: а) f (x) = x4 – x3 + 5; б) f (x) = x cos x; в) f (x) = (3x + 4)5.

Answer 1

а) f (x) = x⁴ - x³ + 5;

f '(x)= 4x³ - 3x².

б) f (x) = x cos x;

f '(x)= (x)'cosx + x(cosx)'= cosx - xsinx.

в) f (x) = (3x + 4)⁵;

f '(x)= 5(3x+4)⁴×(3x+4)'= 15(3x+4)⁴.

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций:

а) $f(x) = x^4 - x^3 + 5$:

Применяем правило степенной функции: $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$ Таким образом, для данной функции:

$\frac{d}{dx} (x^4) = 4x^3$
$\frac{d}{dx} (-x^3) = -3x^2$

Поскольку производная константы равна нулю, то $\frac{d}{dx} 5 = 0$

Теперь складываем производные каждого члена функции:

$f'(x) = 4x^3 - 3x^2$

б) $f(x) = x \cos(x)$:

Применяем производное произведения функций: $\frac{d}{dx} [u(x) v(x)] = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \cos(x)$.

Тогда $u'(x) = 1$ (производная по $x$ от $x$) и $v'(x) = -\sin(x)$ (производная по $x$ от $\cos(x)$).

Применяя правило производного произведения, получаем:

$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\sin(x)) = \cos(x) - x \sin(x)$

в) $f(x) = (3x + 4)^5$:

Здесь мы имеем степенную функцию внутри скобок. Давайте воспользуемся правилом для производной сложной функции: $\frac{d}{dx} [g(h(x))] = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Пусть $g(x) = x^5$ и $h(x) = 3x + 4$.

Тогда $g'(x) = 5x^4$ (производная по $x$ от $x^5$) и $h'(x) = 3$ (производная по $x$ от $3x + 4$).

Применяя правило производной сложной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 5(3x + 4)^4 \cdot 3 = 15(3x + 4)^4$

Итак, производные данных функций:

а) $f'(x) = 4x^3 - 3x^2$

б) $f'(x) = \cos(x) - x \sin(x)$

в) $f'(x) = 15(3x + 4)^4$