Question

Дифференциальные уравнения1) y'x+x+y=0 2) y'+2xy=2xy^3

Answer 1

$1)\ \ y'x+x+y=0\ |:x\ \ ,\ \ \ \ y'=-\dfrac{y}{x}-1\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=-u-1\ \ ,\ \ u'x=-2u-1\ \ ,\ \ u'=-\dfrac{2u+1}{x}\ ,\\\\\int \dfrac{du}{2u+1}=-\int \dfrac{dx}{x}\\\\\dfrac{1}{2}\, ln|2u+1|=-ln|x|+lnC\ \ ,\ \ \ \sqrt{2u+1}=\dfrac{C}{x}\ \ ,\\\\\sqrt{\dfrac{2y}{x}+1}=\dfrac{C}{x}\ \ ,\ \ \dfrac{2y+x}{x}=\dfrac{C^2}{x^2}\ \ ,\ \ 2y+x=\dfrac{C^2}{x}\ \ ,\ \ y=\dfrac{C^2}{2x}-\dfrac{x}{2}\\\\\\y=\dfrac{C^*}{x}-\dfrac{x}{2}\ \ \Big(\ C^*=\dfrac{C^2}{2}\ \Big)$

$2)\ \ y'+2xy=2xy^3\ \ ,\ \ \ \ y=uv\ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+2xuv=2x(uv)^3\\\\u'v+u(v'+2xv)=2x(uv)^3\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=-2xv\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{dv}{v}=-2\int x\, dx\ \ ,\ \ ln|v|=-x^2\ \ ,\ \ v=e^{-x^2}\\\\b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot e^{-x^2}=2x\cdot u^3\cdot e^{-3x^2}\\\\\int \dfrac{du}{u^3}=\int 2x\cdot e^{-2x^2}\, dx\ \ ,\ \ \ \dfrac{u^{-2}}{-2}=-\dfrac{1}{2}\int e^{-2x^2}\cdot d(-2x^2)\ ,\\\\-\dfrac{1}{2u^2}=-\dfrac{1}{2}e^{-2x^2}-\dfrac{C}{2}\ \ ,\ \ \ \dfrac{1}{u^2}=e^{-2x^2}+C\ \ ,$

$u=\pm \dfrac{1}{\sqrt{e^{-2x^2}+C}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y=\pm \dfrac{e^{-x^2}}{\sqrt{e^{-2x^2}+C}}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем их общие решения.

1. Уравнение: $y'x + x + y = 0$

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Сначала перепишем уравнение в виде:

$y' + \frac{y}{x} = -1$

Теперь найдем интегрирующий множитель, умножив обе стороны уравнения на $x$:

$xy' + y = -x$

Это уже точное дифференциальное уравнение. Найдем его решение, найдя такую функцию $\mu(x)$, что умножение уравнения на $\mu(x)$ сделает его точным:

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} = e^{\ln|x|} = |x|$

Теперь умножим исходное уравнение на $\mu(x)$:

$|xy'| + |y| = -|x|$

Для удобства, давайте рассмотрим два случая: $x > 0$ и $x < 0$.

1.1) При $x > 0$:

$xy' + y = -x$

Это точное уравнение, и мы можем найти его решение. Решим его как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение:

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -1$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} - 1$

$\frac{dy}{y + x} = -\frac{dx}{x}$

$\ln|y + x| = -\ln|x| + C_1$

$|y + x| = \frac{C_2}{x}$

$y + x = \pm \frac{C_2}{x}$

$y = \frac{C_2}{x} - x$

1.2) При $x < 0$:

Аналогично, получим решение:

$y = \frac{C_2}{x} - x$

Таким образом, общее решение уравнения $y'x + x + y = 0$ выглядит как:

$y = \frac{C}{x} - x$

где $C$ — произвольная постоянная.

2. Уравнение: $y' + 2xy = 2xy^3$

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем решить его с помощью метода интегрирующего множителя.

Для начала, поделим обе стороны уравнения на $2xy$:

$\frac{y'}{2xy} + 1 = y^2$

Теперь умножим обе стороны на $\frac{1}{y^2}$:

$\frac{y'}{2xyy^2} + \frac{1}{y^2} = 1$

$y^{-2}y' + \frac{1}{2} \frac{1}{x} = 1$

Теперь это стало точным уравнением. Используем метод интегрирующего множителя:

Интегрирующий множитель $$ 0 0