Question

Егорка задумал четное натуральное число N, и умножил сумму всех его нечетных делителей на сумму всех его четных делителей и прибавил 1. Получился точный квадрат. Докажите, что Егорка ошибся.

Answer 1

Пусть N имеет натуральные делители $1,\ a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_k,$ и их сумма равна A. Пусть, кроме того, $N=2^p\cdot M,$ где N - нечетное число.

Четные делители числа N имеют вид

$2,\ 2a_1,2a_2,\ \ldots, 2a_k;\ 2^2,\ 2^2a_1,\ \ldots,\ 2^2a_k;\ldots;\ 2^p,\ 2^pa_1,\ \ldots,\ 2^pa_k.$

Складывая четные делители группами в соответствие с тем, сколько множителей вида 2 в них есть, а потом складывая эти группы, получим

$2(1+a_1+\ldots+a_k)+2^2(1+a_1+\ldots+a_k)+\ldots + 2^p(1+a_1+\ldots +a_k)=$

$=2A+2^2A+\ldots 2^pA=2A\frac{2^p-1}{2-1}=2A(2^p-1).$

Требуется проверить, может ли

$A\cdot2A(2^p-1)+1=2A^2(2^p-1)+1$

быть полным квадратом, то есть равняться B².

Конечно, такого быть не может, так как если перенести 1 направо, мы получили бы

$2a^2(2^p-1)=B^2-1=(B-1)(B+1).$

Выражение, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4, выражение же, стоящее справа, или является нечетным (если B четное), или же делится не только на 4, а даже на 8 (хотя нам это и не нужно) -- ведь из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4.

Answer 2

Давайте докажем, что Егорка не мог получить точный квадрат, следуя его описанной процедуре.

Пусть число N записывается как N = 2^a * m, где 'm' - нечетное число, а 'a' - натуральное число (возможно, равное нулю).

Поскольку N - четное, то его делители тоже можно разделить на две группы: четные и нечетные. Обозначим сумму нечетных делителей как S_odd, а сумму четных делителей как S_even.

Сумма всех делителей числа N будет равна (S_odd + S_even). Согласно описанию, Егорка умножил сумму нечетных делителей на сумму четных делителей:

S_odd * S_even.

Затем он прибавил 1:

S_odd * S_even + 1.

Нам нужно показать, что это число не может быть точным квадратом. Предположим, что это число действительно является квадратом, то есть:

S_odd * S_even + 1 = k^2,

где 'k' - натуральное число.

Мы знаем, что произведение двух нечетных чисел является нечетным числом, а произведение четного и нечетного числа также является четным числом. Таким образом, S_odd * S_even - четное число.

Добавляя 1 к четному числу, мы получаем нечетное число. Но квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Следовательно, квадрат 'k^2' и 'S_odd * S_even + 1' не могут иметь одну и ту же четность.

Это противоречие говорит о том, что предположение о том, что 'S_odd * S_even + 1' является квадратом натурального числа, неверно. Следовательно, Егорка ошибся в своем предположении, и число, полученное им, не может быть точным квадратом.