Question

Исследовать функцию y=x^3-3x^2 с помощью производной и построить схематический график.

Answer 1

Ответ:

Всё на фотографиях. На одном листе - решения. На 2 листе - график функции.

Answer 2

Давайте начнем с анализа функции y = x^3 - 3x^2 с помощью производной. Производная функции позволяет нам определить экстремумы (минимумы и максимумы), а также точки перегиба на графике функции.

1. Найдем производную функции y по x: y = x^3 - 3x^2 y' = 3x^2 - 6x

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0 или x = 2

Теперь мы имеем две критические точки: x = 0 и x = 2. Давайте определим их характер (минимум или максимум) с помощью второй производной.

3. Найдем вторую производную функции y по x: y'' = 6x - 6

4. Подставим критические точки во вторую производную: Для x = 0: y''(0) = 6(0) - 6 = -6 (отрицательное значение - максимум) Для x = 2: y''(2) = 6(2) - 6 = 6 (положительное значение - минимум)

Итак, у нас есть следующая информация:

• При x = 0 функция имеет локальный максимум.
• При x = 2 функция имеет локальный минимум.

Теперь давайте построим схематический график функции:

scssCopy code
  ^
y |
  |
  |                 + (2, -4)
  |                 |
  |                 |
  |                 |         *
  |                 |      *  
  |                 |   *
  |                 |* (0, 0)
  |*                +
  ----------------------------->
                x

На этом графике звездочками обозначены критические точки, а плюсом - локальный минимум. Максимум в точке (0, 0) выше отмечен как выступающая "горка".