Question

Предел Lim x->∞ sqrt(x^2+5x)-x

Answer 1

Ответ:

2.5

Пошаговое объяснение:

Lim x->∞ sqrt(x²+5x)-x

Lim x->∞ (√(x²+5x)-x)

Lim x->∞ 5x/(x+√(x²+5x))

5 Lim x->∞  x/(x+√(x²+5x))

5 Lim x->∞ 1/(√x²+5x/x + 1)

5 1/ (Lim x->∞ (√x²+5x/x + 1))

5/(Lim x->∞ √x²+5x/x² + 1)

5/(√(Lim x->∞ x²+5x/x² + 1))

5/(√(Lim x->∞ 1+5/x/1 + 1)

5/√1 + 1

5/2

2.5

Answer 2

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2+5x}-x\right)=\lim_{x \to \infty}\frac{\Big(\sqrt{x^2+5x}-x\Big)\Big(\sqrt{x^2+5x}+x\Big)}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to \infty}\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\lim_{x \to \infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+1}=\frac{5}{2}.$

Answer 3

Чтобы найти предел данной функции при x → ∞, давайте разберемся с выражением внутри корня:

sqrt(x^2 + 5x) - x

Мы можем попробовать упростить это выражение:

sqrt(x^2 + 5x) - x = sqrt(x^2 * (1 + 5/x)) - x = sqrt(x^2) * sqrt(1 + 5/x) - x = x * sqrt(1 + 5/x) - x

Теперь мы видим, что есть два слагаемых: x * sqrt(1 + 5/x) и -x. При x → ∞, второе слагаемое (-x) будет стремиться к минус бесконечности. Остается разобраться с первым слагаемым.

Посмотрим на первое слагаемое:

x * sqrt(1 + 5/x)

Когда x стремится к бесконечности, 5/x будет стремиться к нулю:

lim (5/x) = 0 as x → ∞

Из этого следует, что:

lim sqrt(1 + 5/x) = sqrt(1 + 0) = sqrt(1) = 1 as x → ∞

Таким образом, первое слагаемое будет:

x * 1 = x

Суммируя оба слагаемых, получаем:

lim (x * sqrt(1 + 5/x) - x) = lim (x - x) = 0 as x → ∞

Итак, предел данной функции при x → ∞ равен 0.