Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - х^2 + х + 6; у = 0.

Answer 1

Ответ:

20 5/6 ед.²

Пошаговое объяснение:

Решение с рисунком на фотографии

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения, которые определяют границы фигуры. Пересечение линий происходит в точках, где y равно 0.

Сначала решим уравнение у = -х^2 + х + 6 для x:

-х^2 + х + 6 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения используем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае a = -1, b = 1 и c = 6. Применяя квадратную формулу, получим:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

Подставляя значения, получим:

x = (-(1) ± √(1^2 - 4(-1)(6))) / 2(-1), x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2, x = (-1 ± √25) / -2, x = (-1 ± 5) / -2.

Таким образом, получаем два значения x:

x₁ = (6) / -2 = -3, x₂ = (4) / -2 = -2.

Теперь, когда у нас есть значения x, подставим их в уравнение y = -х^2 + х + 6, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = -3: y₁ = -(-3)^2 + (-3) + 6 = -9 + (-3) + 6 = -6.

Для x = -2: y₂ = -(-2)^2 + (-2) + 6 = -4 + (-2) + 6 = 0.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-3, -6) и (-2, 0). Они образуют границы фигуры. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - это x-координаты точек пересечения, f(x) - верхняя функция (у нас это у = -х^2 + х + 6), и g(x) - нижняя функция (у нас это y = 0).

Подставляя значения и интегрируя, получаем:

S = ∫[-3, -2] ((-x^2 + x + 6) - 0) dx = ∫[-3, -2] (-x^2 + x + 6) dx = [-x^3/3 + x^2/2 + 6x] | from -3 to -2 = [-(8/3) + 4 - 12 + (4/2) + 12] = -8/3 + 4 - 12 + 2 + 12 = -8/3 + 14 = 38/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -х^2 + х + 6 и y = 0, составляет 38/3 (или примерно 12.67) квадратных единиц.