Question

Помогите пожалуйста , СРОЧНО . Доказать , что точки A,B,C и D вершины тетраэдра A(-4;-4;3), B(-2;-1;1), C(2;-2;-1), D(-1;3;-2).

Answer 1

Даны точки A(-4;-4;3), B(-2;-1;1), C(2;-2;-1), D(-1;3;-2).

Определим уравнение плоскости через точки А, В и С.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-4) y - (-4) z - 3

(-2) - (-4) (-1) - (-4) 1 - 3

2 - (-4) (-2) - (-4) (-1) - 3

 = 0

x - (-4) y - (-4) z - 3

2 3 -2

6 2 -4

 = 0

x - (-4)  3·(-4)-(-2)·2  -  y - (-4)  2·(-4)-(-2)·6  +  z - 3  2·2-3·6  = 0

(-8) x - (-4)  + (-4) y - (-4)  + (-14) z - 3  = 0

 - 8x - 4y - 14z - 6 = 0

4x + 2y + 7z + 3 = 0 .

Подставим координаты точки D в уравнение плоскости АВС.

4*(-1) + 2*3 + 7*(-2) + 3 = -4 + 6 - 14 + 3 = -9.

Не равно нулю, значит, точка D не принадлежит плоскости АВС.

Ответ: точки A,B,C и D - это вершины тетраэдра.

Answer 2

Чтобы доказать, что точки A, B, C и D действительно образуют вершины тетраэдра, вам нужно убедиться, что они не лежат на одной плоскости и что они образуют трёхмерную фигуру без пересечений.

Возможный способ доказательства состоит в том, чтобы вычислить объем тетраэдра, образованного этими точками, и убедиться, что объем положителен. Если объем положителен, это будет означать, что точки A, B, C и D образуют тетраэдр.

Объем тетраэдра можно вычислить с помощью формулы объема тетраэдра, которая определяется через координаты его вершин:

$V = \frac{1}{6} \cdot \left| \mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}) \right|,$

где $\mathbf{AB}$ - вектор между точками A и B, $\mathbf{AC}$ - вектор между точками A и C, $\mathbf{AD}$ - вектор между точками A и D, а $\times$ обозначает векторное произведение.

Давайте выполним вычисления:

1. Вычислим векторы между вершинами: $\mathbf{AB} = \langle -2 - (-4), -1 - (-4), 1 - 3 \rangle = \langle 2, 3, -2 \rangle,$ $\mathbf{AC} = \langle 2 - (-4), -2 - (-4), -1 - 3 \rangle = \langle 6, 2, -4 \rangle,$ $\mathbf{AD} = \langle -1 - (-4), 3 - (-4), -2 - 3 \rangle = \langle 3, 7, -5 \rangle.$

2. Вычислим векторное произведение $\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}$: $\mathbf{AC} \times \mathbf{AD} = \langle (2 \cdot -5) - (2 \cdot 7), (-4 \cdot 3) - (6 \cdot -5), (6 \cdot 7) - (2 \cdot 3) \rangle = \langle -24, -6, 36 \rangle.$

3. Теперь вычислим скалярное произведение $\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD})$: $\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}) = 2 \cdot -24 + 3 \cdot -6 + (-2) \cdot 36 = -48 - 18 - 72 = -138.$

4. Вычислим объем тетраэдра: $V = \frac{1}{6} \cdot \left| -138 \right| = \frac{138}{6} = 23.$

Поскольку объем тетраэдра (V = 23) положителен, это означает, что точки A, B, C и D образуют тетраэдр.