Question

Заданные координаты четырех вершин тетраэдра (треугольной пирамиды): A (3, 5, -2), B (1, 3, 2), C (5, -4,3), D (3, 4, -5). В прямоугольной декартовой системе координат изобразите тетраэдр. Найдите следующие элементы тетраэдра. 1. Длину стороны CD. 2. Длину медианы треугольника BCD, выходящий из вершины D. 3. Угол между диагоналями параллелограмма, построенного на сторонах BC и BD. 4. Длину высоты, проведенной из вершины A на основание BCD. 5. Площадь основания BCD. 6. Объем тетраэдра. 7. Убедиться в том, что векторы AB, AC, AD и BC линейно зависимы. Выбрать среди этих векторов линейно независимы. Доказать факт их линейной независимости.

Answer 1

Ответ:

Фиг его щнает

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи поочередно.

1. Длина стороны CD:

Используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}\]

\[CD = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-4))^2 + ((-5) - 3)^2}\]

\[CD = \sqrt{(-2)^2 + (8)^2 + (-8)^2}\]

\[CD = \sqrt{4 + 64 + 64} = \sqrt{132}\]

2. Длина медианы BCD, выходящей из вершины D:

Медиана треугольника BCD, выходящая из вершины D, делит сторону BC пополам.

\[BD = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{132}\]

3. Угол между диагоналями параллелограмма, построенного на сторонах BC и BD:

Угол между векторами можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \]

Где \(\theta\) - угол между векторами, \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) - векторы. Давайте найдем векторы BC и BD:

\[\mathbf{BC} = \langle 5-1, (-4)-3, 3-2 \rangle = \langle 4, -7, 1 \rangle\]

\[\mathbf{BD} = \langle 3-1, 4-3, (-5)-2 \rangle = \langle 2, 1, -7 \rangle\]

Теперь найдем скалярное произведение:

\[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{BD} = (4 \cdot 2) + ((-7) \cdot 1) + (1 \cdot (-7)) = 8 - 7 - 7 = -6 \]

Теперь выразим угол:

\[ \cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{132} \cdot \sqrt{54}} \]

\[ \theta = \arccos\left(\frac{-6}{\sqrt{132} \cdot \sqrt{54}}\right) \]

4. Длина высоты, проведенной из вершины A на основание BCD:

Высота тетраэдра, проведенная из вершины A на основание BCD, это расстояние от точки A до плоскости BCD. Для этого используем формулу:

\[ h_A = \frac{|Ax \cdot (ByCz - BzCy) + Ay \cdot (BzCx - BxCz) + Az \cdot (BxCy - ByCx)|}{\sqrt{(BxCy - ByCx)^2 + (ByCz - BzCy)^2 + (BzCx - BxCz)^2}} \]

Подставим значения:

\[ h_A = \frac{|3 \cdot ((-7) \cdot 3 - 1 \cdot (-4)) + 5 \cdot ((1 \cdot (-7) - 4 \cdot 2)) + (-2) \cdot (4 \cdot 7 - (-4) \cdot 1)|}{\sqrt{(4 \cdot 7 - (-4) \cdot 1)^2 + ((-7) \cdot 3 - 1 \cdot (-4))^2 + (1 \cdot (-7) - 4 \cdot 2)^2}} \]

5. Площадь основания BCD:

Для нахождения площади треугольника BCD используем формулу Герона:

\[ S_{BCD} = \sqrt{p \cdot (p - BC) \cdot (p - CD) \cdot (p - BD)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, который равен полусумме длин сторон:

\[ p = \frac{BC + CD + BD}{2} \]

6. Объем тетраэдра:

Объем тетраэдра можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot h_A \]

7. Линейная зависимость векторов AB, AC, AD и BC:

Векторы AB, AC, AD и BC линейно зависимы, если существуют такие коэффициенты \(c_1, c_2, c_3, c_4\), не все равные нулю, что:

\[ c_1 \cdot \mathbf{AB} + c_2 \cdot \mathbf{AC} + c_3 \cdot \mathbf{AD} + c_4 \cdot \mathbf{BC} = \mathbf{0} \]

Теперь давайте выберем среди этих векторов линейно независимые. Векторы линейно независимы, если невозможно найти ненулевые коэффициенты \(c_1, c_2, c_3, c_4\), при которых равенство выше выполняется.

Если векторы линейно независимы, то \(c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0\), иначе они линейно зависимы.

Векторы AB, AC, AD и BC можно представить в виде:

\[\mathbf{AB} = \langle 1-3, 3-5, 2-(-2) \rangle = \langle -2, -2, 4 \rangle\] \[\mathbf{AC} = \langle 5-3, (-4)-5, 3-(-2) \rangle =