Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3 + 1, х = -1, х = 2 и у = 0

Answer 1

Ответ: S = 6,75

Пошаговое объяснение:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ + 1, х = -1, х = 2 и у = 0

На координатной плоскости построим данные линии.

х = -1 и х = 2 прямые параллельные оси ординат Оу и проходящие через точки (-1;0) и (2;0) соответственно.

Прямая у = 0 лежит на оси абсцисс Ox.

у= x³+1 является кубической параболой.

График построим по точкам (-1;0), (0;1), (1;2), (2;9)

Область ограничена:

             сверху кривой у= x³+1

             снизу у = 0

             справа  х = 2

             слева х =-1

Для нахождения площади найдем определенный интеграл функции  x³+1  с пределами интегрирования от -1 до 2

$S=\int\limits^2_{-1} {x^3+1} \, dx=(\frac{x^4}{4}+x)\begin{vmatrix}2\\-1\end{vmatrix}=\frac{2^4}{4}+2-\frac{1}{4}-(-1)=4+2-0,25+1=6,75$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями и кривой, нужно вычислить интеграл функции, описывающей разницу между верхней и нижней границами области.

Сначала найдем точки пересечения кривой и линий:

1. Уравнение кривой: у = х^3 + 1
2. Линии: x = -1, x = 2, y = 0

Для x = -1: y = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0

Для x = 2: y = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9

Таким образом, верхняя граница фигуры - это кривая y = x^3 + 1, а нижняя граница - ось x (y = 0).

Интеграл для вычисления площади: $S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[\frac{x^4}{4} + x\right]_{-1}^{2} = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - 1\right) = \frac{16}{4} + 2 + \frac{1}{4} + 1 = 4 + 2 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 + 1, x = -1, x = 2 и y = 0, равна $\frac{17}{4}$ квадратных единиц.